Una generalizzazione

[pi_greco_quadro]

Definiamo $ \displaystyle k $-somma una somma i cui addendi siano esattamente $ \displaystyle k $ e consecutivi.
Si dimostri che, data una sequenza di numeri e dati $ \displaystyle (a,b)=1 $, con $ \displaystyle a,b\in\mathbb N $, sapendo che ogni $ \displaystyle a $-somma è positiva ed ogni $ \displaystyle b $-somma è negativa, allora tale sequenza può contenere al massimo $ \displaystyle a+b-2 $ elementi.

BONUS QUESTION:

più in generale, detto $ \displaystyle (a,b)=c $, si dimostri che la massima lunghezza raggiungibile è $ \displaystyle a+b-1-c $

[enomis_costa88]

Sia f(a,b) la massima lunghezza ottenibile.

1) $ f(a,b)\leq a+b-1-(a,b) $

Per induzione su $ a+b $:
Passo base:
Se $ a = b = (a,b) $ :
$ f(a,b)=a+b-1-(a,b)=(a,b)-1 $
Infatti se ne avessi almeno (a,b) ogni (a,b)-somma sarebbe sia positiva che negativa.

Passo induttivo:
Sia Wlog a>b (a meno di invertire numeri positivi e negativi).
Considero le (a-b)-somme ottenute sommando a-b numeri consecutivi ma in posizioni successive alla b-esima.
Esse sono tutte positive.

Infatti se considero una (a-b)-somma + la b somma (che è negativa) dei b numeri che la precedono ottengo una a-somma che è positiva.

Quindi oltre ai primi b numeri posso avere al più $ f(a-b,b) $ altri numeri.

Quindi $ f(a,b)\leq $$ f(a-b,b)+b\leq a-b+b+b-(a-b,b)-1=a+b-(a,b)-1 $

2) ora qualcuno di buona volontà dovrebbe costruire effettivamente una sequenza lunga $ a+b-c-1 $ con la data proprietà.