48 palline in un sacchetto

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Franchifis
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48 palline in un sacchetto

Messaggio da Franchifis » 07 ago 2006, 23:28

In un sacchetto ci sono 48 palline bianche, rosse o nere.
La probabilità che estraendone due contemporaneamente esse siano entrambe bianche è il doppio della probabilità che estraendone tre contemporaneamente esse siano tutte rosse. Quante sono le palline nere?

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genius88
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Messaggio da genius88 » 08 ago 2006, 17:29

Finalmente inizio a fare un problema in questo sito!!!!!!
Ero stufo di leggere soluzioni e dimostrazioni, beccatevi questo:


Chiamiamo $ b $ il numero di palline bianche, $ n $ il numero di palline nere e $ r $ il numero di palline rosse.
La probabilità che escano due palline dello stesso colore ( il bianco)in due estrazioni è $ \frac{b(b-1)}{48\cdot 47} $ e che escano tre palline rosse in tre estrazioni è $ \frac{r(r-1)(r-2)}{48\cdot 47 \cdot 46} $.
quindi si può giungere a questa equazione: $ \frac{b(b-1)}{48\cdot 47}=2\cdot \frac{r(r-1)(r-2)}{48\cdot 47 \cdot 46} $ dove $ b $ e $ r $ sono interi positivi la cui somma è minore di 48.
Semplificando si ottiene $ b(b-1)=\frac{r(r-1)(r-2)}{23} $.
poichè $ b(b-1) $ è intero lo sarà anche $ \frac{r(r-1)(r-2)}{23} $ e poichè 23 è un numero primo o $ r $ o $ r-1 $ o $ r-2 $ dividono 23.
Poichè $ r+b<48 $, $ r<47 $, quindi $ r-1 $ o $ r-2 $ non possono essere 46 o multipli di 23 maggiori poichè contradirrebbero l'ipotesi e se $ r=46 $ allore$ b=1 $ e $ n=1 $ che non soddisfano l'equazione di partenza.
Quindi o $ r=23 $ o $ r-1=23 $ o $ r-2=23 $.
Nel caso $ r=23 $, $ b(b-1)=462 $ e $ b=22 $ e $ n=3 $.
Nel caso $ r-1=23 $, $ r=24 $, $ b(b-1)=528 $, che dà risultati non interi.
Nel caso $ r-2=23 $, $ r=25 $, $ b(b-1)=600 $ quindi $ b=25 $ che è in contrasto con $ r+b<48 $.
L'unica soluzione accettabile è quindi $ n=3 $, che vuol dire che ci sono 3 palline nere.

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