Gialloblu'

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Hammond
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Gialloblu'

Messaggio da Hammond » 05 ago 2006, 21:36

Trovare il più piccolo numero naturale n tale che comunque si colorino di giallo o di blu gli elementi di {1,2,...,n} esistono quattro interi x, y, z, w, dello stesso colore, non necessariamente distinti, tali che x + y + z = w.

(Nazionali Gran Bretagna 2004)

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frengo
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Messaggio da frengo » 05 ago 2006, 23:11

il numero è 11.

dimostrazione:

innanzitutto, se n=10 esiste una configurazione per cui non esistono quaterne come dice il testo (che è BBGGGGGGBB).

poi, per dimostrare che comunque si colorino i numeri da 1 a 11 ne esistono quattro come dice il testo,divido in vari casi.

1)supponiamo che il colore di 1 ed il colore di 3 siano uguali: allora la quaterna (1;1;1;3) è quella che ci serve.
2)supponiamo che il colore di 1 sia diverso da quello di 3
2.1)supponiamo che il colore di 2 sia uguale a quello di tre(wlog, 2 e 3 siano B)
2.1.1)se uno tra 6,7,8 sono B, allora una tra le quaterne (2;2;2;6) o (2;2;3;7) o (2;3;3;8)soddisfa la relazione del testo.
2.1.2)se sia 6 che 7 che 8 sono G, allora la quaterna (1;1;6;8 ) soddisfa la relazione del testo.
2.2)supponiamo che il colore di 2 sia uguale a quello di 1 (supponiamo G).
2.2.1)se uno tra 3,4,5,6 è giallo allora una tra le quaterne (1;1;1;3) o (1;1;2;4) o (1;2;2;5) o (2;2;2;6) soddisfa il testo.
2.2.2)supponiamo che 3,4,5,6 siano B.
2.2.2.1)se uno tra 9,10,11 è B, allora una tra le quaterne (3;3;3;9) o (3;3;4;10) o (3;4;4;11) soddisfa la relazione del testo.
2.2.2.2) se invece 9,10,11 sono tutti G, allora la quaterna (1;1;9;11) soddisfa la relazione del testo.

non essendomi lasciato scappare nemmeno un caso, li ho analizzati tutti, quindi ogni colorazione dei primi undici numeri ne lascia quattro che soddisfano $ x+y+z=w $.

piever
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Messaggio da piever » 05 ago 2006, 23:15

EDIT=Ho inviato due volte il messaggio e neanche mi sono accorto che Frengo postava prima di me...
Ultima modifica di piever il 05 ago 2006, 23:21, modificato 1 volta in totale.
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piever
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Messaggio da piever » 05 ago 2006, 23:16

Posto in invisibile visto che è facile:

I primi 10 si possono colorare in una sola (o meglio due, cioè invertendo i colori) maniera, per non avere i 4 valori con la caratteristica sopracitata dello stesso colore:
scelgo arbitrariamente che il primo è Giallo, quindi il terzo è per forza Blu (altrimenti 1+1+1=3), quindi il nono è Giallo (altrimenti 3+3+3=9), quindi il settimo è Rosso (altrimenti 7+1+1=9), 2 Giallo (altrimenti 3+2+2=7), 4,5,6 Rossi (altrimenti 1+1+2=4, 1+2+2=5, 2+2+2=6), 10 Giallo (altrimenti 3+3+4=10), 8 rosso (altrimenti 8+1+1=10).
Ora se 11 Giallo abbiamo 9+1+1=11, se 11 Rosso invece 3+4+4=11.


P.S. Esiste una dimostrazione meno tentativosa?
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