Cubo Appiccicoso

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EvaristeG
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Cubo Appiccicoso

Messaggio da EvaristeG » 01 ago 2006, 21:59

Il simpatico Fred organizza una festa di compleanno con i suoi compagni di classe (facciamo quinta elementare o giù di lì). Ad un certo punto, sono rimasti non molti pasticcini e si pone il problema di dividerli fra le fameliche $ M $ bestiole, ovvero gli invitati e il festeggiato.
Lo zio di Fred (esimio probabilista) propone allora questo sistema : sul pavimento si trova un cubo composto di $ N^3 $ cubetti, sulla sua superficie cioccolata, cocacola, ketchup, succo di frutta ed altre amenità formano uno strato orrendamente appiccicoso; lo zio scompone allora il cubo nei cubetti e li mette in un sacchetto ed invita ogni bimbo a turno a prendere un cubetto e lanciarlo (come un dado), se la faccia verso l'alto è appiccicosa il bimbo riceve un pasticcino, altrimenti nisba, dopo di che rimette (in entrambi i casi) il cubetto nel sacchetto.

Qual è il numero medio di pasticcini che ci si aspetta di dover distribuire?

HARDER : Se ogni bambino, dopo aver lanciato, lava il proprio cubetto e lo mette da parte, come cambia la risposta alla precedente domanda? (Onestamente, non so se esista un modo umano di fare questo conto ... io non l'ho fatto)

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post233
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Messaggio da post233 » 02 ago 2006, 02:26

Ok, sperando di non scrivere idiozie...
Degli $ N^3 $ cubetti ne abbiamo $ 8 $ in corrispondenza dei vertici del cubo grande, con tre facce appiccicose; ne abbiamo poi altri, che formano gli spigoli, con due facce appiccicose: il cubo grande ha dodici spigoli di $ N $ cubetti ciascuno, a cui devo togliere i vertici, per un totale di $ 12(N-2) $. Vi sono poi cubetti con una sola faccia appiccicosa, cioè quelli che formano le facce del cubo grande, eliminando vertici e spigoli. Si tratta di sei quadrati di lato $ N-2 $, in tutto $ 6(N-2)^2 $ cubetti; infine, i cubetti interni al cubo grande non hanno facce appiccicose, e sono in tutto $ (N-2)^3 $ (formano infatti un cubo, interno a quello principale, di lato $ N-2 $).
A questo punto, la media cercata è data dalla sommatoria, per $ i $ che va da $ 0 $ a $ 3 $, dei prodotti fra la probabilità di estrarre un cubetto con $ i $ facce appiccicose e quella di avere come risultato del lancio una di tali facce; tale risultato va poi moltiplicato per il numero di volte che effettuo l'operazione, cioè $ M $, ottenendo $ M\displaystyle \left(\displaystyle \frac{(N-2)^3}{N^3}\displaystyle \frac{0}{6}+\displaystyle \frac{6(N-2)^2}{N^3}\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{12(N-2)}{N^3}\displaystyle \frac{2}{6}+\displaystyle \frac{8}{N^3}\displaystyle \frac{3}{6} \right)= $$ M \displaystyle \frac{N^2-4N+4+4N-8+4}{N^3}=\displaystyle \frac{M}{N} $.
Membro dell'EATO.
Membro della Lega Anti MM2.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 02 ago 2006, 09:13

Senza conti:
il procedimento di scegliere prima un cubetto a caso e poi una faccia a caso equivale a scegliere direttamente una faccia a caso tra tutte quelle disponibili su tutti i cubetti (in quanto tutti i cubetti hanno lo stesso numero di facce). Quindi basta trovare il rapporto tra facce appiccicose e facce totali.
Per ognuna delle 6 "orientazioni" delle facce (sopra, sotto, destra, sinistra, davanti, dietro) vi sono N piani uguali possibili, dei quali uno è tutto appiccicoso, e N-1 non sono appiccicosi.
Quindi la probabilità di beccare una faccia appiccicosa è 1/N, e il numero medio di biscotti da distribuire è M/N.
Ultima modifica di MindFlyer il 02 ago 2006, 13:02, modificato 1 volta in totale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 ago 2006, 12:55

Ok a post e a Mind, ovviamente.

Una sola preghiera : Mind, visto che è tutto testo, puoi sbiancare la tua soluzione? Voglio vedere se quell'idea viene ad altri.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 02 ago 2006, 13:02

Detto fatto!

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 ago 2006, 13:11

tnx!!
E ora, sotto gli altri!! Mi sembra che l'idea per farlo senza conti sia abbastanza istruttiva. Sforzatevi!!

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