E' un classico:
"Determinare tutti e soli i rettangoli tassellabili con un numero finito di tessere rettangolari 3*4 e senza sovrapposizioni".
Buon lavoro !
N.B.
Dato che l'esercizio è facile ed il risultato è piuttosto noto saranno assai gradite dimostrazioni complete ed accurate...
Tassellazioni...
Proviamo...
Allora, ogni tassello occupa 12 caselle, perciò almeno un lato sarà divisibile per 3 e almeno un lato sarà divisibile per 4. Quindi o il rettangolo è del tipo 4n x 3m con n,m interi positivi, oppure è del tipo 12n x m.
1°caso: il rettangolo può essere visto come formato da axb pezzi 4x3 ognuno ricopribile con un tassello.
2°caso: Chiaramente $ m \ge 3 $, altrimenti non è possibile. A questo punto notiamo che il lato m sarà nella forma 4a + 3b, con a,b interi non negativi; il maggior intero non esprimibile in tale forma è $ 4*3-4-3=5 $, mentre per m=3,4 non ci sono problemi. Del resto se m=4a + 3b il rettangolo può essere visto come unione di a+b rettangoli rientranti nel primo caso, e quindi è tassellabile.
Conclusione: tutti e soli i rettangoli 4n x 3m, e quelli 12n x m con $ m\ge 3 $ e $ m \neq 5 $
Allora, ogni tassello occupa 12 caselle, perciò almeno un lato sarà divisibile per 3 e almeno un lato sarà divisibile per 4. Quindi o il rettangolo è del tipo 4n x 3m con n,m interi positivi, oppure è del tipo 12n x m.
1°caso: il rettangolo può essere visto come formato da axb pezzi 4x3 ognuno ricopribile con un tassello.
2°caso: Chiaramente $ m \ge 3 $, altrimenti non è possibile. A questo punto notiamo che il lato m sarà nella forma 4a + 3b, con a,b interi non negativi; il maggior intero non esprimibile in tale forma è $ 4*3-4-3=5 $, mentre per m=3,4 non ci sono problemi. Del resto se m=4a + 3b il rettangolo può essere visto come unione di a+b rettangoli rientranti nel primo caso, e quindi è tassellabile.
Conclusione: tutti e soli i rettangoli 4n x 3m, e quelli 12n x m con $ m\ge 3 $ e $ m \neq 5 $
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NicolasBourbaki
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- Località: Pisa
Ok, lo riattacco.
Dimostriamo che un lato è necessariamente multiplo di 4.
Supponiamo per assurdo di saper tassellare una scacchiera in cui entrambi i lati non siano multipli di 4; allora colorando a righe con i colori A,B,C seguendo lo schema ABACABAC.... la differenza fra il numero di caselle B e caselle C è pari all'altro lato, e quindi non è divisibile per 4 (spero si capisca
). Notiamo che ogni tassello copre o tante caselle B quante caselle C, oppure 4 caselle B in più delle C (o viceversa, anche qui spero sia chiaro). Pertanto in un rettangolo tassellato la differenza fra caselle B e C è multipla di 4: assurdo.
[rileggendo, mi sembra che l'assurdo non sia affatto necessario, ma ormai ce lo lascio]
Dimostriamo che un lato è necessariamente multiplo di 4.
Supponiamo per assurdo di saper tassellare una scacchiera in cui entrambi i lati non siano multipli di 4; allora colorando a righe con i colori A,B,C seguendo lo schema ABACABAC.... la differenza fra il numero di caselle B e caselle C è pari all'altro lato, e quindi non è divisibile per 4 (spero si capisca
). Notiamo che ogni tassello copre o tante caselle B quante caselle C, oppure 4 caselle B in più delle C (o viceversa, anche qui spero sia chiaro). Pertanto in un rettangolo tassellato la differenza fra caselle B e C è multipla di 4: assurdo.[rileggendo, mi sembra che l'assurdo non sia affatto necessario, ma ormai ce lo lascio]