beh, non credevo che avrei mai postato un problema di combinatoria...
comunque non è nulla di che
sia dato $ I_n = \{1,2,\cdots n\} $, e sia, per ogni $ i $, $ 1 \le a_i \le i $ un intero. per ogni $ C \subset I_n $ definiamo $ S(C) = \sum_{i \in C} a_i $.
dimostrare che esistono due insiemi disgiunti $ A, B $ tali che l'unione dia $ I_n $ e tali che $ S(A) = S(B) $ se e solo se $ S_(I_n) $ è pari.
somme e sottoinsiemi
- HumanTorch
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Se ho ben capito basterebbe prendere in ogni insieme $ k $ e $ S-k $
dove $ S $ è pari a $ \frac{n(n+1)}{2} $.
Tuttavia chiedo chiarimenti: $ a_i $ è un elemento di $ I_n $?
dove $ S $ è pari a $ \frac{n(n+1)}{2} $.
Tuttavia chiedo chiarimenti: $ a_i $ è un elemento di $ I_n $?
Perhaps the world is not made.
Perhaps nothing is made.
Perhaps it simply is, has been, will always be there ...
..a clock without craftsman
Who watches the watchmen?
Alan Moore, "Watchmen"
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- enomis_costa88
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Scusatemi per il non utilizzo di la tex..ma non sono ancora riuscito ad impararlo..riparerò il prima possibile, promesso.
Se S(In) è dispari: S(In)/2=S(A)=S(B) è assurdo perché S(A),S(B) sono interi perché somma di interi mentre S(In)/2 no.
TH2: posso ottenere qualsiasi b come somma di a_i con i<b+1
1) 1=a_1
2)hp: ottengo m ( e i numeri <m..)
th: ottengo m+1: 0<a_m+1<m+2
K=m+1-a_m+1 quindi -1<K<m+1
Per l’hp induttiva posso ottenere K come somma di a_i. quindi posso ottenere m+1 e tutti gli 0<m<n+1.
Strategia per creare i due insiemi:
Scelgo i primi K’ a_i (in ordine crescente) in modo da creare un insieme C tale che
S(C) = < S(In)/2 ma S(D)+a_k’+1>S(In)/2.
Chiamo D l’insieme dei primi k'+1 a_i.
E ottengo: S(In)/2 +a_k'+1>=S(D)>S(In)/2;
chiamo c = S(D)-S(In)/2 e ottengo c<a_k'+1
ora devo togliere a D un insieme E con S(E)=c e per quanto dimostrato induttivamente posso farlo.
A=D-E e In-A=B con S(A)=S(In)/2=S(B). da cui la tesi QED
Secondo me questo è un problema carino.. peccato che se ne postino così pochi di belli (ok dipende da cosa intendo per bello..) in combinatoria!
Buon Pomeriggio a tutti Simone
Se S(In) è dispari: S(In)/2=S(A)=S(B) è assurdo perché S(A),S(B) sono interi perché somma di interi mentre S(In)/2 no.
TH2: posso ottenere qualsiasi b come somma di a_i con i<b+1
1) 1=a_1
2)hp: ottengo m ( e i numeri <m..)
th: ottengo m+1: 0<a_m+1<m+2
K=m+1-a_m+1 quindi -1<K<m+1
Per l’hp induttiva posso ottenere K come somma di a_i. quindi posso ottenere m+1 e tutti gli 0<m<n+1.
Strategia per creare i due insiemi:
Scelgo i primi K’ a_i (in ordine crescente) in modo da creare un insieme C tale che
S(C) = < S(In)/2 ma S(D)+a_k’+1>S(In)/2.
Chiamo D l’insieme dei primi k'+1 a_i.
E ottengo: S(In)/2 +a_k'+1>=S(D)>S(In)/2;
chiamo c = S(D)-S(In)/2 e ottengo c<a_k'+1
ora devo togliere a D un insieme E con S(E)=c e per quanto dimostrato induttivamente posso farlo.
A=D-E e In-A=B con S(A)=S(In)/2=S(B). da cui la tesi QED
Secondo me questo è un problema carino.. peccato che se ne postino così pochi di belli (ok dipende da cosa intendo per bello..) in combinatoria!
Buon Pomeriggio a tutti Simone