Cuciamo tutti insiem alla ricerca di invarianti

[Boll]

Problema

Si hanno a disposizione tre sarte e tre cucitrici, e infinita stoffa, tuttavia le sarte non sono molto capaci e riescono a lavorare solo su modelli già fatti e in modi particolari. Se si ha un rettangolo di stoffa di lati $ a $ e $ b $, ovviamente con $ a,b\in\mathbb{N}_0 $ le tre sarte sanno fare i seguenti modelli:
-copiando $ a,b $ ottenere $ a+1,b+1 $
-copiando $ 2a,2b $ ottenere $ a,b $
-copiando $ a,b $ e $ b,c $ ottenere $ a,c $
Le domande sono:
-partendo da $ 5,19 $ possiamo ottenere $ 1,50 $?
-e $ 1,100 $?


Bonus Question Caratterizzare in funzione di $ a,b $ tutti i rettangoli $ 1,f(a,b) $ che possiamo ottenere

[info]

1,50 --- si!
1,100 --- no! perchè 7 non divide 99...

c'è qualche errore?

[Boll]

No, ma magari se facessi vedere come fai $ 1,50 $ e spiegassi cosa c'entra la congruenza modulo 7

[info]

fondamentalmente (1,50) l'ho ottenuto ottenendo prima (1,8 )...

per il resto, dato che credo di nn aver trovato particolari problemi (strano eh?), mi pare giusto dare la patata bollente a qualcuno in attesa di gare!

[Boll]

Non hai fatto la Bonus Question però...

[Boll]

UP! Suvvia, non è difficile e info ha anche aiutato...

[carro bestiame]

...

[Sisifo]

Per ora mi limito a suggerire che secondo me si conserva la divisibilità di b-a per tutti i primi diversi da 2... è abbastanza facile verificarlo guardando le trasformazoni possibili, e qui si spiega perchè 7 (19-5=14). Però non ho idea di come fare la bomus question...

[Boll]

Ok Sisifo, l'invariante è, detto $ |a-b|=2^k*n $, la congruenza modulo $ n $ (Provatelo!!), ora fare la bonus question dovrebbe essere un giuoco da ragazzi

[Sisifo]

Mmm... mi sono accorto di aver letto male la bonus question... può darsi che sia una cosa simile a questa?
$ f(a,b)=k \cdot n \forall k \in \mathbb{N} $
Dove n è il più grande divisore dispari di $ |a- b| $

[Boll]

Mh, a me esce che $ f(a,b)=kn+1 $, il tutto nella tua notazione

Su, qualcuno ora scriva tutta la dimostrazione per benino, sennò non si capisce niente, questo non dovrebbe essere un forum "didattico"????

Semmai se entro poco nessuno lo fa lo farò io

[Sisifo]

Sì Boll, scusa un piccolo errore di distrazione.

[Marco]

Su, qualcuno ora scriva tutta la dimostrazione per benino, sennò non si capisce niente, questo non dovrebbe essere un forum "didattico"????

Giusto. Faccio la parte "difficile" (impossibilità di 1x100) e la metto in grigio.
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Se è dato un rettangolo axb, definisco il suo rettangolismo come |a-b|.

Vedo che cosa succede al rettangolismo quando opero una delle tre mosse date.
(i) il rettangolismo non cambia
(ii) il rettangolismo si dimezza
(iii) il rettangolismo risultante è la somma o la differenza dei rettangolismi

Sia ora D un numero dispari che divide il rettangolismo della pezza iniziale; le pezze ottenibili da essa con mosse (i)--(iii) hanno rettangolismi comunque divisibili per D (dato che i cambiamenti del rettangolismo operati dalle mosse non toccano la divisibilità per D).

Dato che la pezza iniziale ha rettangolismo 19-5 = 14, posso scegliere D = 7. Le pezze ottenibili hanno tutte rettangolismo divisibile per 7, ma vogliamo ottenere 1x100, che ha rettangolismo 99, che non è divisibile per 7. Assurdo. []

A dopo.

M.