macchie d'inchiostro

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pazqo
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macchie d'inchiostro

Messaggio da pazqo »

da "Pazzi pazzi numeri" di Ami Birenboim

su un foglio di carta viene posata una griglia formata da un numero infinito di quadrati, ognuno dei quali avente area di 1x1 $ cm^2 $. sbadatamente viene versato dell'inchiostro sul foglio, e si formano n macchie la cui area totale è minore di 1 $ cm^2 $.
Si dimostri che è possibile spostare la griglia in modo tale che nessuno dei nodi (punti d'intersezione) tocchi una macchia d'inchiostro.

buon lavoro!


ps: ho sbagliato sezione. doveva andare sotto combinatoria. potete spostarlo? grazie!

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Fatto!
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pigeonhole?
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pazqo
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Grazie Mind

beh, il pigeonhole fa sempre bene. come lo applichi, però?
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Messaggio da mario86x »

che forma possono avere le macchie?
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pazqo
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qualsiasi! possono anche essere punti singoli :-)
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pazqo ha scritto:qualsiasi! possono anche essere punti singoli :-)
Allora diciamo che le macchie devono essere un sottoinsieme di un insieme misurabile di area < 1.
Quindi ci riconduciamo a dimostrarlo per macchie misurabili.
Facciamo anche limitate?
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pazqo
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Mind, non penso che la natura conosca così bene Lebesgue da sparpagliarsi in modo così cattivo :-)
Sinceramente, sul fatto che siano illimitate non ci vedo nessun problema. Dovrebbe essere dimostrabile lo stesso. dopotutto si tratta di mostrare che esiste un punto in ciascun quadrato tale che se tu unisci tutti i punti, formi una griglia e nessun punto è su una macchia d'inchiostro.

facciamo così. tu lo risolvi per il caso in cui le macchie costituiscono un insieme misurabile e limitato.
poi vediamo di cercare eventuali controesempi. si può sempre scrivere all'autore del libro. son abbastanza convinto che la soluzione vada bene anche per casi "patologici" :-)

e comunque, come darvi torto? io stesso ho chiesto a Catraga chiarimenti di questo genere sul questito "colorazione del piano". eh, siamo noi matematici a essere patologici, non gli insiemi di punti :-)
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beh, riconduco le n macchie ad una sola super-macchia che ha area al più pari alla somma delle aree delle n mini-macchie (e al minimo grande come la mini-mini-macchia più grande, definite le almeno n mini-mini-macchie come le mini-macchie tagliate dalle griglia :wink: ), quindi comunque minore di 1cm<sup>2</sup>. Per farlo, "copio e incollo" (oppure, mi è lecito traslare?) tutte le n macchie in un unico quadretto a scelta della griglia iniziale, mantenendo la posizione rispetto ai vertici. Quindi se sposto la griglia in modo che i vertici non tocchino la super-macchia, questa non toccherà nemmeno le altre mini-macchie. C'è una posizione consentita perché il quadretto con la supermacchia ha almeno una falla (dato la sua area minore dell'area di un quadretto) dove posizionare un vertice della nuova griglia.

EDIT: sistemata la pignoleria
Ultima modifica di Melkon il 13 apr 2005, 14:31, modificato 1 volta in totale.
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MindFlyer ha scritto:Allora diciamo che le macchie devono essere un sottoinsieme di un insieme misurabile di area < 1.
Quindi ci riconduciamo a dimostrarlo per macchie misurabili.
Facciamo anche limitate?
uh, caro mind, potresti complicare la vita anche a me, spiegandomi questa insana osservazione? Grassie...
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OT:perché non funziona l'HTML?!?!?!
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pazqo ha scritto:beh, il pigeonhole fa sempre bene. come lo applichi, però?
Facile!! I quadretti sono ovviamente numerabili, i punti del piano hanno la cardinalità del continuo... :twisted: :? :roll: :D
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Messaggio da Marco »

Melkon ha scritto:
MindFlyer ha scritto:Allora diciamo che le macchie devono essere un sottoinsieme di un insieme misurabile di area < 1.
Quindi ci riconduciamo a dimostrarlo per macchie misurabili.
Facciamo anche limitate?
uh, caro mind, potresti complicare la vita anche a me, spiegandomi questa insana osservazione? Grassie...
Beh, è un po' una favoletta da "Matematica non Olimpica", comunque...

Quando eravamo piccoli, la Maestra ci iniziava alle gioie della Geometria e dal suo ineffabile Libro, cavava per lo stupore degli studenti gemme sempre più preziose. Figure geometriche sempre più ardue, di cui il saccente Libro insegnava a determinare il perimetro e l'area. Si iniziava dal quadrato ("tse! chi non lo sa?"), per andare al rettangolo, al triangolo equilatero e scaleno, al rombo, al parallelogramma, al trapezio (e questo era tosto). Poi per non parlare dei poligoni regolari, quando si dovevano mandare a memoria i numeri fissi per calcolare l'apotema (alzi la mano chi si ricorda ancora che cos'è l'apotema). Per il pentagono 0,688. Per l'esagono 0,866 (o erano 0,668 e 0,886?). Poi l'ettagono e l'ennagono: per quelli ci voleva davvero il libro. E i poveri studenti a calcolar quanta stoffa doveva ordinare un ombrellaio che costruiva gli ombrelli ettagonali.

Poi, con un ardito passaggio al limite, la Maestra faceva spuntare dal suo Libro la vera star della geometria, che tanto ha fatto gioire e penare il genere umano, dall'epoca dei greci in poi: sua maestà il Cerchio. E quando si giungeva a calcolare l'area del segmento circolare, la Maestra chiudeva con un sogghigno il Primo Volume del Libro.

Nel frattempo gli studenti, avidi di sapere geometrico, imparavano a cimentarsi con figure sempre più ardite e maturava nelle loro giovani menti la consapevolezza che qualunque figura, per quanto complicata, sarebbe stata zittita e ridotta alla ragione dall'opportuno passo del Libro, che ne riportava agevolmente perimetro, area e, per i casi tridimensionali, addirittura la superficie totale!

Quando poi gli studenti crebbero, scopersero a loro danno che esistono delle cose un po' più schifose: i poligoni possono avere dei buchi (e questo, non sarebbe nemmeno tremendo...), le curve possono avere delle aree che non si scrivono con una bella formula pulitina (per tacer di quanti hanno cercato il perimetro dell'ellisse...). Questo è già un po' più fastidioso, ma, considerando che anche pi greco, in fin dei conti, era noto solo con una certa approssimazione (3,14, per l'esattezza, ossia 157/50) e quindi, a rigore, anche del cerchio, non si arrivava a dire per davvero quanto fosse vasto, si poteva anche chiudere un occhio.

Ma poi sono arrivati altri signori del tutto antipatici, a combinare cattiverie strane, come il Fiocco di Koch, il Tappeto di Sierpinski, la Spugna di [chi era...?] Monge[?], la Polvere di Cantor, per non parlare di quei mostri schifosi partoriti dalle menti malate di Raoul Julia e Benoit Mandelbrot (e chi trova la battuta è bravo).

Ma ancora non era finita! Proprio vero che al peggio non v'è mai fine! Altri signori, non avendo null'altro di meglio da fare, pensaron bene di costruire insiemi che non potessero sensatamente essere misurati. I semplici Assiomi della Misura erano ammutoliti per sempre. Non osavano più farsi vedere in giro, per paura di esser burlati dai Razionali Ingrassati o, peggio ancora, dalle sfere d'oro di Banach e Tarski, che venivano smontate in pochi pezzi, rimontate e.... magia!! Da una sfera d'oro, te ne ritrovavi due, identiche alla sfera primigenia! E si parla d'oro massiccio!!

E per concludere la storia, carissimo, non pensare che qualunque sottoinsieme del piano, ma anche solo della retta, possa essere misurato con il doppiodecimetro. In verità, di tutto il marasma di sottoinsiemi dei reali, ben pochi sono quei fortunati che possono asserir senz'ombra di dubbio che il buon Lebesgue abbia sancito per loro una sacrosanta e meritata misura.

[*] i nomi sono ampiamente citati, in piccola parte a memoria, ma in larga misura (sic!) a sproposito. Prendete il racconto per quel che vale: un soldo e mezzo.

Un saluto. M.
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Melkon ha scritto:beh, riconduco le n macchie ad una sola super-macchia che ha area al più pari alla somma delle aree delle n mini-macchie (e al minimo grande come la mini-macchia più grande), quindi comunque minore di 1cm<sup>2</sup>. Per farlo, "copio e incollo" (oppure, mi è lecito traslare?) tutte le n macchie in un unico quadretto a scelta della griglia iniziale, mantenendo la posizione rispetto ai vertici. Quindi se sposto la griglia in modo che i vertici non tocchino la super-macchia, questa non toccherà nemmeno le altre mini-macchie. C'è una posizione consentita perché il quadretto con la supermacchia ha almeno una falla (dato la sua area minore dell'area di un quadretto) dove posizionare un vertice della nuova griglia.
diciamo che può andare. essenzialmente l'idea è la stessa. l'autore, probabilmente meno informatico e molto più falegname, preferisce ritagliare il piano lungo la griglia e sovrapporre il tutto, concludendo che esiste un punto in cui c'è tutta una "colonna" che non è sporca di inchiostro. infatti, se così non fosse allora la macchia avrebbe area > 1. ma, come vedi, l'idea è la stessa che hai avuto tu :-) bene bene!
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Ma no, per me questa soluzione non va bene! Cioé, va bene se le macchie sono misurabili (ipotesi che, contrariamente a quanto dice Melkon, non complica insanamente le cose, ma le rende banali).
Ma nel caso generale andrebbero dimostrate un bel po' di cose (che non so nemmeno se siano vere)!

Ah, comunque devo aggiungere che l'idea della soluzione nel caso misurabile è molto carina. Solo, forse è più da matematica non elementare.
Ultima modifica di MindFlyer il 12 apr 2005, 21:49, modificato 1 volta in totale.
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Melkon ha scritto:OT:perché non funziona l'HTML?!?!?!
L'ammissione preventiva che un messaggio è OT da parte dell'autore, non autorizza l'autore stesso a scriverlo, né lo scagiona dall'averlo scritto!
Melkon ti prego (e prego anche tutti gli altri), per domande di questo tipo usa la sezione del forum appropriata.
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