macchie d'inchiostro

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pazqo
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Messaggio da pazqo »

MindFlyer ha scritto:Ma no, per me questa soluzione non va bene! Cioé, va bene se le macchie sono misurabili (ipotesi che, contrariamente a quanto dice Melkon, non complica insanamente le cose, ma le rende banali).
Ma nel caso generale andrebbero dimostrate un bel po' di cose (che non so nemmeno se siano vere)!
beh, prima di partire in quarta, cerca un modo di distribuire i punti per cui non funziona... il discorso dell'autore è semplice. metti i quadrati uno sopra l'altro. poi li proietti sopra un unico quadrato. se l'area totale della proiezione deve essere minore di 1 allora esiste un insieme di misura $ \varepsilon > 0 $ che è immune da macchia. e allora questo insieme è non vuoto. prendo un elemento dell'insieme. e sono a posto. cosa sbaglio?
MindFlyer ha scritto: Ah, comunque devo aggiungere che l'idea della soluzione nel caso misurabile è molto carina. Solo, forse è più da matematica non elementare.
uhm. non mi pare. nel caso "ingenuo" direi che la soluzione va bene ed è elementare. come magari quella della "colorazione del piano". solo che nessuno l'ha data, per ora... :-)
comunque il libro da cui è tratta assegna solo problemi che hanno soluzioni elementari.
Stefano 'Pazqo' Pascolutti

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pazqo ha scritto:se l'area totale della proiezione deve essere minore di 1 allora esiste un insieme di misura $ \varepsilon > 0 $ che è immune da macchia. e allora questo insieme è non vuoto. prendo un elemento dell'insieme. e sono a posto. cosa sbaglio?
Non sbagli assolutamente niente. L'unica cosa è che non hai risolto il problema!
Dici che se l'area della proiezione è <1, allora la tesi è vera, e va bene.
Ma se non lo fosse? D'altra parte, perché mai dovrebbe esserlo se le macchie non sono misurabili??

Tra l'altro, qui è fondamentale decidere se si vuole o non si vuole usare l'assioma della scelta. Anche per questo motivo classificherei il problema come non olimpico (in aggiunta al fatto che la soluzione ufficiale fa una "sovrapposizione infinita", e tocca in modo intrinseco ed ambiguo il concetto di misura).
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Messaggio da MindFlyer »

pazqo ha scritto:beh, prima di partire in quarta, cerca un modo di distribuire i punti per cui non funziona...
Per risponderti da logico, direi che la probabilità che esista un modo per descrivere a parole quell'insieme è 0. :)
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pazqo
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Messaggio da pazqo »

beh, in condizioni normali direi che è il caso di sottilizzare su AC e su questioni simili. ma in questo caso direi di no. il problema ha senso e possiamo pure considerare macchie misurabili e limitate, dal punto di vista della risoluzione pura e semplice. e infatti ho promosso la soluzione di Melkon, essendo la stessa soluzione data dall'autore del libro. il problema è tra quelli di media difficoltà. ce ne sono di più tosti e infatti volevo proporne uno tra un po'. quindi direi che non è il caso di perdere altro tempo... :-)
se vogliamo discuterne, allora spezza il tread in matematica non elementare, ma qua la questione è conclusa :-)
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Marco
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Messaggio da Marco »

Cerchiamo di tagliare la testa al toro, rimanendo un po' coi piedi per terra.

Il problema originario dava come ipotesi che la macchia "avesse un'area < di 1". In particolare, che la macchia "avesse un'area"!

Questo lo possiamo interpretare implicitamente come un'ipotesi di misurabilità delle macchie (anche se è un po' un esercizio di esegesi...).

In tal caso, l'idea melkoniana è ottima (e, anzi, penso sia l'unico modo sensato di rispondere al quesito): i frammenti della macchia tagliati dalla griglia sono intersezione di misurabili, e quindi misurabili. La loro unione (numerabile!!) nella supermacchia (io, da algebrista, avrei detto "la macchia modulo $ \mathbb Z^2 $"...!!) è misurabile e di area non maggiore della macchia iniziale. Avendo troppa poca area, non può coprire il quadrato, ecc..., ecc... Fine della storia.

La misurabilità direi che è indispensabile. La limitatezza (per agganciarmi al post di Flyer), invece, non entra da nessuna parte, quindi non serve.

Ciao. M.
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Messaggio da Marco »

[pignolery=on]
Ah,ah!! Ho trovato un errorino:
Melkon ha scritto:e al minimo grande come la mini-macchia più grande
Non necessariamente: se la macchia è un rettangolo 2 x a (con a <1/2 come ti pare), è falso: la supermacchia è un rettangolo 1 x a.
[pignolery=off]

Lo so, lo so, è perfettamente irrilevante ai fini della soluzione...
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pazqo
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Messaggio da pazqo »

magari con "mini macchie" intende le macchie che si ottengono "al quoziente". e allora ha ragione. :-)
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Marco
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Messaggio da Marco »

Stiamo andando lungo una brutta china; comunque, pignoleria, per pignoleria...

No, Pazqo. Se leggi il suo post, ti accorgi che Melkon intendeva proprio le n macchiette in cui la macchia totale è suddivisa.

Ma, ripeto, è del tutto irrilevante ;-)
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Melkon
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Messaggio da Melkon »

beh, marco ha ragione, non mi sono spiegato bene. Ho corretto l'errorino
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