Numeri "123"

[Marco]

[Cortona 1988]

Quanti interi di m cifre formati dalle cifre 1, 2, 3 contengono, almeno una volta, ciascuna delle tre cifre?

Ciao. M.

[Boll]

Mi sembra troppo facile per essere un Cortona... Anyway:

Il totale dei numeri possibili è $ 3^m $.

Ora i numeri che usano solo due cifre sono
$ 2^m $ che usano $ (1,2) $
$ 2^m $ che usano $ (1,3) $
$ 2^m $ che usano $ (2,3) $
Ma contandoli in questo modo i numeri che usano una sola cifra vengolo contati due volte quindi dobbiamo sottrarre $ 3 $ al totale (una sorta di Principio di I-E). Quindi in totale i nostri numeri dovrebbero essere:
$ 3^m-3*2^m+3 $

[Marco]

Ok. Beh, è facile se e solo se conosci PIE. Questo è il classico esercizio fatto apposta per farlo usare. Se no, ti perdi in una serie di acrobazie combinatorie che... meglio lasciar perdere.

[Boll]

Bah, sicuramente hai ragione, ma secondo me PIE, come l'identità di Legendre, quella di Sophie Germain, il principio dei cassetti ecc ecc sono quegli "aggeggi con nome e cognome" che però vengono abbastanza intuitivi anche senza conoscerli. Certo, se hai visto almeno una volta nella vita il PIE sei avvantaggiato, ma credo si possa fare benissimo anche senza...

[Singollo]

Ciao, sono nuovo. Non linciatemi se ho frainteso il quesito. E' solo che mi sembra che lo abbiate molto sopravvalutato, dato che l'ho risolto io - che ho sparutissime e superficiali conoscenze matematiche - in cinque minuti

Il numero cercato equivale al numero di interi che soddisfano le seguenti proprietà:

1) m = numero di cifre
2) una cifra = 1
3) una cifra = 2
4) una cifra = 3
5) le altre cifre = { 1 vel 2 vel 3}

perciò

- abbiamo m modi differenti di fissare al cifra 1
- abbiamo m*(m - 1) modi differenti di fissare le cifre 1 e 2
- abbiamo m*(m - 1)*(m - 2) modi differenti di fissare le cifre 1, 2 e 3
- abbiamo 3^(m - 3) modi differenti di scegliere le rimanenti m - 3 cifre

quindi abbiamo m*(m - 1)*(m - 2)*3^(m - 3) modi differenti di formare un intero che soddisfi le 5 suddette proprietà

Mi scuso in anticipo per non essermi ancora mai presentato, per non aver usato il LATEX (causa ignoranza), e per non aver usato un linguaggio molto formale (sempre causa ignoranza)

[MindFlyer]

Benvenuto nel forum, Singollo!
Purtroppo hai commesso un errore piuttosto comune: hai contato più volte alcune configurazioni.
Per convincerti, prova con m=4: secondo i tuoi calcoli ci sono 72 configurazioni.
Proviamo però ad enumerarle tutte:
1123, 1132, 1213, 1223, 1231, 1232, 1233, 1312, 1321, 1322, 1323, 1332,
2113, 2123, 2131, 2132, 2133, 2213, 2231, 2311, 2312, 2313, 2321, 2331,
3112, 3121, 3122, 3123, 3132, 3211, 3212, 3213, 3221, 3231, 3321, 3312.
Sono 36, come sostiene Boll. Insomma, hai contato ogni configurazione esattamente 2 volte.
Ora lascio a te capire dov'è stato il tuo errore!

[EvaristeG]

Bah, sicuramente hai ragione, ma secondo me PIE, come l'identità di Legendre, quella di Sophie Germain, il principio dei cassetti ecc ecc sono quegli "aggeggi con nome e cognome" che però vengono abbastanza intuitivi anche senza conoscerli.

Uh Uhm ... chi è 'sta gente??
(scusate il completo OT, ma visto che nessuno dei due nomi accendeva immediate lampadine, mi sono sentito cretino ed ho dovuto scrivere qualcosa, per mantenere un minimo di autostima).

Ah, Singollo (Elwe ?), i problemi di combinatoria hanno la subdola tendenza ad apparire facili quando trovi una soluzione sbagliata, inoltre non hanno mai nemmeno la buona creanza di essere facili...quindi diffida!!

[Singollo]

Si, Evariste (Galois ?), hai indovinato. Mi piace molto l'opera di Tolkien.
Comunque, Mindflyer, credo di aver capito l'errore (correggimi se sbaglio):

sia n il numero di cifre 1
sia d il numero di cifre 2
sia h il numero di cifre 3

ogni intero l'ho contato n*d*h - 1 volte di troppo

[mattilgale]

cos'è il PIE e quell'altra roba lì???????

[Boll]

Ecco un bel link sul PIE. Ossido mi scuserà