Tanti rettangoli

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razorbeard
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Iscritto il: 20 apr 2011, 16:28

Tanti rettangoli

Messaggio da razorbeard »

Quanti sono i diversi rettangoli aventi il perimetro che, espresso in centimetri, è un numero intero di al massimo 3 cifre, mentre l’area è di
$308cm^2$? (N.B. due rettangoli vanno considerati uguali, e quindi contati una volta sola, se hanno gli stessi lati, senza tener conto di quale sia la
base e quale l’altezza)
E' un buon giorno... per morire
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ghilu
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Re: Tanti rettangoli

Messaggio da ghilu »

Carino! Non lo classificherei come combinatoria, ma ci sta come esercizio!
Testo nascosto:
Lo classificherei come teoria dei numeri / algebra.
Generalizzazione:
Testo nascosto:
Dati [math] e [math] trovare quanti sono i diversi rettangoli aventi il perimetro che, espresso in centimetri, è un numero intero minore o uguale a [math], mentre l'area misura [math] centimetri quadrati.
La risposta della generalizzazione mi viene (ma correggetemi se sbaglio, che l'ho fatto un po' di fretta)
Testo nascosto:
[math]
Che quindi per l'esercizio originale mi viene
Testo nascosto:
964
La mia soluzione è la seguente:
Testo nascosto:
Non dice che i lati (chiamiamoli $a,b$) debbano avere misure intere, basta che siano reali positivi. Il prodotto $ab$ vale $N=308$ mentre la somma $a+b$ è un numero semi-intero minore di $M/2$. Usando la formula quadratica e la relazione radici-coefficienti, vediamo che il problema equivale a contare i polinomi quadratici della forma $t^2 -( p/2) t + N$ dove $p$ sarebbe il perimetro, quindi un qualsiasi parametro intero compreso tra $4\sqrt N$ e $M$. Ci serve la condizione $p\geq 4\sqrt N$ per avere esistenza di radici reali (queste radici sono poi automaticamente positive, lo si vede facilmente).
Non si smette mai di imparare.
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ale.G
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Iscritto il: 22 nov 2010, 15:14
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Re: Tanti rettangoli

Messaggio da ale.G »

Purtroppo il risultato non è quello, ghilu, devo leggere meglio il testo per vedere dove ti sei inceppato, ricordo che questo problema era già stato postato sul forum, e viene dalla gara a squadre di tor vergata a Roma del 2011.

viewtopic.php?f=16&t=16635&p=141599&hil ... 1a#p141599
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !
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