combintoria (?)

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savian
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combintoria (?)

Messaggio da savian » 08 lug 2018, 18:52

Fissato un numero reale a, dimostrare che tra i numeri
a, 2a, 3a, 4a,..., (n-1)a
ce n'è uno che dista al più 1/n da un intero

Fenu
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Re: combintoria (?)

Messaggio da Fenu » 09 lug 2018, 20:49

Lascio un abbozzo di soluzione.
Testo nascosto:
Notiamo che scelti due elementi all' interno dell insieme $S=\{a, 2a, ..., (n-1)a\}$, chiaramente anche la loro differenza sarà contenuta in $S$.
Ora non ci interessa della parte intera degli elementi di $S$, ma solo la loro differenza dall'intero più vicino: segue che gli elementi di $S$ possono essere "posizionati" all'interno dell'intervallo $[0, 1]$. Dividiamo quest'intervallo in $n$ parti uguali e affrontiamo 2 casi:
1)Nel primo intervallo $[0,\frac{1}{n}]$ o nell'ultimo $[\frac{n-1}{n}, 1]$ è contenuto almeno un elemento di $S$. In questo caso abbiamo finito in quanto questo elemento dista al più $\frac{1}{n}$ da un intero.
2) Se non ricadiamo nella 1) vuol dire che gli elementi di $S$ (che sono $n-1$) stanno in $n-2$ spazi. Piccionaia e differenza, fine.
Ora che ti ho mostrato l'idea di base e detto cosa devi usare, completare il punto 2) è immediato, fammi sapere se devo scriverlo.

savian
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Re: combintoria (?)

Messaggio da savian » 10 lug 2018, 13:17

Ho capito, mi mancava solo la differenza in pratica... Grazie della chiarezza!

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