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Problema vecchio di un anno

Inviato: 11 mar 2018, 21:12
da Gorgia
Salve a tutti, ho un quesito da sottoporre a menti più esperte della mia.
Esso è tratto dalla gara a squadre di secondo livello del 14/03/2017 proposta da Univ. Tor Vergata.
Si chiede: in quanti modi si può scrivere 3033030^(4) come prodotto di 3 numeri interi positivi? Dare come risposta le 4 cifre meno significative e,
ovviamente, due prodotti con stessi fattori anche se in ordine diverso vanno considerati come uno.
Ringrazio in anticipo

Re: Problema vecchio di un anno

Inviato: 12 mar 2018, 22:29
da TheRoS
Intanto $3033030^4=3^4\cdot 2^4\cdot 5^4\cdot 11^4\cdot 13^4\cdot 7^4\cdot101^4$. A questo punto immaginiamo di porre i quattro 3, i quattro 2, i quattro 5, i quattro 11, i quattro 13 , i quattro 7 e i quattro 101 in un insieme $X$, mentre i tre numeri cercati (chiamiamoli $n_1$, $n_2$, $n_3$) in un insieme $Y$. A questo punto notiamo che ogni fattore dell'insieme $X$ lo possiamo mandare in $Y$ in tre modi: quindi sostanzialmente i modi di comporre $n_1$, $n_2$ e $n_3$ sono $3^{28}$ (che precisamente sono il numero di funzioni dall'insieme $X$ a quello $Y$). Però attenzione: in questo modo non contiamo le permutazione dei tre numeri. In particolare i tre numeri che posso ottenere da una funzione possono essere o tutti diversi oppure due sono uguali e l'altro è diverso (non posso averli tutti e tre uguali perché il nostro numero non è un cubo perfetto). Si nota che quando i due numeri sono uguali il loro prodotto è un quadrato perfetto, quindi per trovare il numero di queste terne basta trovare tutti i quadrati perfetti che dividono il nostro numero; in altre parole dobbiamo prendere tre fattori per ogni primo che compare nella scomposizione corrispondenti a 0,2,4: quindi tali terne sono $3^7$. Noi in questo modo abbiamo contato le terne a meno di permutazioni, quindi queste sono le terne con due numeri uguali a meno di permutazioni. Con le permutazioni sono $3^7\cdot \binom{3}{2}=3^8$. Questo valore ci serve per trovare il numero di terne tutte distinte (con le permutazioni). Esse sono $3^{28}-3^8$ e tale valore va diviso per $3!=6$. Di conseguenza le terne totali sono
\begin{align}
\frac{3^{28}-3^8}{6}+3^7
\end{align}