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Problema vecchio di un anno

Inviato: 11 mar 2018, 21:12
da Gorgia
Salve a tutti, ho un quesito da sottoporre a menti più esperte della mia.
Esso è tratto dalla gara a squadre di secondo livello del 14/03/2017 proposta da Univ. Tor Vergata.
Si chiede: in quanti modi si può scrivere 3033030^(4) come prodotto di 3 numeri interi positivi? Dare come risposta le 4 cifre meno significative e,
ovviamente, due prodotti con stessi fattori anche se in ordine diverso vanno considerati come uno.
Ringrazio in anticipo

Re: Problema vecchio di un anno

Inviato: 12 mar 2018, 22:29
da TheRoS
Intanto $3033030^4=3^4\cdot 2^4\cdot 5^4\cdot 11^4\cdot 13^4\cdot 7^4\cdot101^4$. A questo punto immaginiamo di porre i quattro 3, i quattro 2, i quattro 5, i quattro 11, i quattro 13 , i quattro 7 e i quattro 101 in un insieme $X$, mentre i tre numeri cercati (chiamiamoli $n_1$, $n_2$, $n_3$) in un insieme $Y$. A questo punto notiamo che ogni fattore dell'insieme $X$ lo possiamo mandare in $Y$ in tre modi: quindi sostanzialmente i modi di comporre $n_1$, $n_2$ e $n_3$ sono $3^{28}$ (che precisamente sono il numero di funzioni dall'insieme $X$ a quello $Y$). Però attenzione: in questo modo non contiamo le permutazione dei tre numeri. In particolare i tre numeri che posso ottenere da una funzione possono essere o tutti diversi oppure due sono uguali e l'altro è diverso (non posso averli tutti e tre uguali perché il nostro numero non è un cubo perfetto). Si nota che quando i due numeri sono uguali il loro prodotto è un quadrato perfetto, quindi per trovare il numero di queste terne basta trovare tutti i quadrati perfetti che dividono il nostro numero; in altre parole dobbiamo prendere tre fattori per ogni primo che compare nella scomposizione corrispondenti a 0,2,4: quindi tali terne sono $3^7$. Noi in questo modo abbiamo contato le terne a meno di permutazioni, quindi queste sono le terne con due numeri uguali a meno di permutazioni. Con le permutazioni sono $3^7\cdot \binom{3}{2}=3^8$. Questo valore ci serve per trovare il numero di terne tutte distinte (con le permutazioni). Esse sono $3^{28}-3^8$ e tale valore va diviso per $3!=6$. Di conseguenza le terne totali sono
\begin{align}
\frac{3^{28}-3^8}{6}+3^7
\end{align}

Re: Problema vecchio di un anno

Inviato: 27 giu 2018, 16:45
da savian
non capisco perché +3^7 alla fine

Re: Problema vecchio di un anno

Inviato: 27 giu 2018, 21:25
da TheRoS
Ho semplicemente sommato il numero di scritture come prodotto di tre valori diversi del nostro numero più il numero di scritture del nostro numero come prodotto di due valori uguali e uno diverso (che sono appunto $3^7$).

Re: Problema vecchio di un anno

Inviato: 28 giu 2018, 12:18
da savian
ah ok, sì ripensandoci meglio è evidente