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Paperottolo
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Iscritto il: 01 nov 2017, 09:25

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Messaggio da Paperottolo » 13 nov 2017, 08:03

[Attenzione: Se non siete avvezzi alla combinatoria, vi consiglio di andare su problemisvolti.it o questo problema vi potrebbe dare dei capogiri!]
Callegari è finito in questura, ha dato le soluzioni ai bambini!
Tra 10 giorni avrà la pena di morte e deve scappare!
Ogni giorno ha 1/3 di probabilità di prendere un martello, ha 1/3 di probabilità di trovare un mattone e ha 1/3 di probabilità di non trovare niente.
Poi ha 1/3 di probabilità di spaccare la porta (se ha il martello) e ha 1/3 di probabilità di spaccare la finestra (se ha il mattone).
Se spacca la porta viene scoperto dalle guardie della matematica, se spacca la finestra ha 1/2 di probabilità di far scattare l'allarme. Qual è la probabilità che scappi?
Ps. se viene scoperto dalle guardie viene messo in isolamento e muore.

Ilgatto
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Iscritto il: 24 ott 2017, 16:36

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Messaggio da Ilgatto » 05 dic 2017, 21:54

Visto che nessuno risponde ci provo io:
Testo nascosto:
Definiamo le possibili condizioni in cui si trova il prigioniero:
il caso "non ha niente" lo chiamo $n$
quello in cui ha solo il martello lo chiamo $a$
quello in cui ha solo il mattone lo chiamo $b$
quello in cui ha sia il mattone che il martello lo chiamo $e$.
Chiamo $f(x,y)$ la probabilità di salvezza essendo nella condizione $x$ e mancando $y$ giorni all'esecuzione.
Dai dati forniti si ricava che:
$$f(n,1)=0$$
$$f(a,1)=0$$
$$f(b,1)=1/6$$
$$f(e,1)=1/6$$
Inoltre si nota che dalla condizione $n$ si può passare alle condizioni $a$, $b$ o restare in $n$, mentre dalle condizioni $a$ e $b$ si può o restare nella stessa condizione o passare a $e$. Se si è nella condizione $e$ essa non può variare. D'ora in poi definirò "schema" il grafo ad albero che descrive i possibili percorsi a partire da una situazione iniziale nota, sapendo il numero di giorni rimanenti. Si ricava dalle varie probabilità date dal testo (non riporto lo schema per ricavare le formule anche se è molto semplice) per $y > 1$:
$$f(n,y)=\frac{f(a,y-1)+f(b,y-1)+f(n,y-1)}{3}$$
$$f(a,y)=\frac{4f(a,y-1)+2f(e,y-1)}{9}$$
$$f(b,y)=\frac{3+8f(b,y-1)+4f(e,y-1)}{18}$$
$$f(e,y)=\frac{1+2 f(e,y-1)}{6}$$
Il problema chiede di trovare $f(n,10)$.
Inizio notando che $f(e,y)$ è abbastanza facile da scrivere in funzione di $y$, quindi $f(e,y)=\frac{3^{y+1}-1}{12*3^y}$. Dimostrazione:
Dalle formule scritte sopra ricavo: $6f(e,y)=1+2f(e,y-1)=1+\frac{1+2f(e,y-2)}{3}=1+\frac{1}{3}+\frac{1+2f(e,y-3)}{9}...$ Si nota che è una successione di potenze di $\frac{1}{3}$ fino a quando la $f$ ha per argomento $(e,0)$, cioè l'ultimo valore è $\frac{1}{3^y}$. Riscrivo la successione di potenze come $\frac{\displaystyle\sum^y_{i=0}3^i}{3^y}$.Sostituisco nella formula di $f(e,y)$ e scrivo la sommatoria come somma dei termini di una progressione geometrica di ragione $3$, ottenendo la formula che volevo dimostrare.
Per $f(a,y)$ bisogna applicare tante volte la formula scritta sopra insieme a quella per $f(e,y)$ ottenendo $f(a,y)=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}f(e,x)*\frac{2}{9}*\left(\frac{4}{9}\right)^{y-x-1}$. Questo si ricava facendo lo schema della formula $f(a,y)=\frac{4f(a,y-1)+2f(e,y-1)}{9}$ e sapendo che $f(a,1)=0$. Nella formula sostituiamo ora la $f(e,x)$ con la sua espressione in funzione di $x$, ottenendo: $f(a,y)=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\frac{4^{y-x-1}*\left(3^{x+1}-1\right)}{54*3^x*9^{y-x-1}}=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\frac{4^{y-x-1}*(3^{x+1}-1)}{54*3^{2y-x-2}}=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\frac{4^{y-x}*\left(3^{x+1}-1\right)}{24*3^{2y-x}}=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\frac{\left(3^{x+1}-1\right)}{24*3^{y}}*\left(\frac{4}{3}\right)^{y-x}=\frac{\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\left(3^{x+1}-1\right)*\left(\frac{4}{3}\right)^{y-x}}{24*3^{y}}=\left(\frac{4^y}{24*3^{2y}}\right)*\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\left(3^{x+1}-1\right)*\left(\frac{3}{4}\right)^{x}=\left(\frac{4^y}{24*3^{2y}}\right)*\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}3*\frac{3^{2x}}{4^x}-\left(\frac{3}{4}\right)^x=\left(\frac{4^y}{24*3^{2y}}\right)*\left(\frac{27}{4}*\frac{\left(\frac{9}{4}\right)^{y-1}-1}{\frac{5}{4}}-\frac{3}{4}*\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{y-1}}{\frac{1}{4}}\right)=\frac{4^y}{24*3^{2y}}\left(\frac{27*3^{2y-2}+15*3^{y-1}}{5*4^{y-1}}-\frac{42}{5}\right)=\frac{4^y}{24*3^{2y}}\left(\frac{27*3^{2y-2}+15*3^{y-1}-42*4^{y-1}}{5*4^{y-1}}\right)=\frac{3*3^{2y}+5*3^y-42*4^{y-1}}{30*3^{2y}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{6*3^y}-\frac{7}{20}\left(\frac{4}{9}\right)^y$
Per $f(b,y)$ faccio un ragionamento analogo, in pratica mi viene lo stesso risultato aumentato di una certa quantità, infatti ogni giorno ho probabilità $\frac{1}{6}$ che si salvi. Quindi: $f(b,y)=f(a,y)+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}*\frac{4}{9}+\frac{1}{6}*\left(\frac{4}{9}\right)^2...+\frac{1}{6}*\left(\frac{4}{9}\right)^{y-1}=f(a,y)+\displaystyle\sum_{x=0}^{y-1}\frac{1}{6}*\left(\frac{4}{9}\right)^x=f(a,y)+\frac{1}{6}\frac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^y}{\frac{5}{9}}=f(a,y)+\frac{3}{10}-\frac{3}{10}\left(\frac{4}{9}\right)^y=\frac{2}{5}+\frac{1}{6*3^y}-\frac{13}{20}\left(\frac{4}{9}\right)^y$
Infine per trovare $f(n,y)$ dobbiamo notare che, facendo il diagramma ad albero, si può ricavare: $f(n,y)=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1} \left(\frac{1}{3}\right)^{y-x}f(a,x)+\left(\frac{1}{3}\right)^{y-x}f(b,x)=\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1} \left(\frac{1}{3}\right)^{y-x}*\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3*3^x}-\left(\frac{4}{9}\right)^x \right)=\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{y-1}-1}{\frac{1}{3}-1}+\frac{y-1}{3*3^y}-\displaystyle\sum_{x=1}^{y-1}\frac{4^x}{3^x3^y}=\frac{1}{4}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{y-1}\right)+\frac{y-1}{3*3^y}-\frac{1}{3^y}\frac{4}{3}\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{y-1}-1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{y-1}-\frac{4^y}{3^{2y-1}}+\frac{y+11}{3*3^y}$
Sostituendo $y=10$ otteniamo: $f(n,10)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{9}-\frac{4^{10}}{3^{19}}+\frac{21}{3^{11}}=\frac{3^{19}-3^{10}-4^{11}+28*3^9}{4*3^{19}}$
Spero di non aver frainteso il testo né di aver sbagliato i conti

fph
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Messaggio da fph » 06 dic 2017, 10:01

Se spacca la finestra e viene scoperto, muore o viene rimesso in cella?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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