Hanno arrestato Gobbino!

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Talete
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Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Talete » 06 nov 2017, 18:39

Massimo è stato imprigionato. Deve rimanere $n+1$ giorni in galera, allora decide di segnare ogni giorno una linea sul muro. Il primo giorno disegna una retta a caso, dal secondo giorno in poi invece lancia una moneta: se esce testa disegna una retta parallela alla prima, se esce croce disegna invece una retta perpendicolare alla prima. Qual è il numero medio di regioni in cui il piano cui appartiene il muro della cella viene diviso da queste rette, quando Massimo esce di prigione?
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Ilgatto
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Re: Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Ilgatto » 15 nov 2017, 22:57

Per facilitare la spiegazione, consideriamo la prima retta orizzontale, se non lo fosse, ruotiamo il piano per renderla tale.
Definiamo $x \ge 0$ il numero di rette verticali e $y\ge 1$ il numero di rette orizzontali compresa la prima. Sapendo che le rette totali sono tante quanti i giorni, allora $x+y= n+1$.
La probabilità che ci siano $x_1$ rette verticali e $y_1$ orizzontali piuttosto che $x_2$ e $y_2$ è la stessa a parità di numero di rette totali, visto che la moneta si suppone non truccata.
Il numero di regioni in cui viene diviso il piano è $(x+1)(y+1)$ perchè ogni retta verticale aumenta di uno le colonne della tabella che si ottiene dividendo il piano, mentre ogni retta orizzontale aumenta di uno le righe della tabella; ricordando che con $0$ rette si ha comunque una regione, si trova la suddetta formula.
Ora troviamo quante sono le possibili permutazioni di lanci che mi portano ad avere dei determinati valori di $x$ e $y$, esse sono:
$$\frac {n!}{x!(y-1)!}$$
Ricordando che la prima retta è sempre orizzontale.
Il numero medio di regioni sarà quindi dato, fissato $n$, dalla somma di tutte le permutazioni per ogni $x$ e $y$ possibile ognuna moltiplicata per il numero di regioni del piano che genera, tutto diviso per $2^n$, cioè il numero di possibili disposizioni con ripetizione dei lanci della moneta. Posso poi scrivere $y$ come $n+1-x$. Risulta quindi:
$$\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{\frac{(x+1)(n-x+2)n!}{x!(n-x)!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{\frac{(x+1)(n-x+2)}{(n-x)!}\frac {n!}{x!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{(x+1)(n-x+2)\frac{(n-x+1)!}{(n-x)!}}}{2^n}=\frac {\displaystyle\sum_{x=0}^n{(x+1)(n-x+2)(n-x+1)}}{2^n}$$
Non saprei come scriverla senza la sommatoria, qualcuno ha un'idea?

Talete
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Re: Hanno arrestato Gobbino!

Messaggio da Talete » 16 nov 2017, 19:29

A me il conto vien diverso (viene una cosa di secondo grado e non di terzo). Comunque puoi usare questo per riscrivere la sommatoria in modo bello (ma dovresti dimostrarlo però :P )
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