quasi una scacchiera

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il filosofo
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quasi una scacchiera

Messaggio da il filosofo » 14 ott 2017, 17:44

Una griglia 7x7 ha due caselle nere e tutte le altre bianche. Quante diverse colorazioni sono possibili, se due sono equivalenti se possono essere ottenute attraverso una rotazione?

Ilgatto
Messaggi: 11
Iscritto il: 24 ott 2017, 16:36

Re: quasi una scacchiera

Messaggio da Ilgatto » 25 ott 2017, 18:00

Testo nascosto:
Diamo delle coordinate alle varie caselle: lettere da $a$ a $g$ per le colonne e numeri da $1$ a $7$ per le righe, chiamando la casella nell'angolo in basso a sinistra $a1$.
Considero separatamente le varie caselle:
Se una delle 2 nere è quella centrale ($d4$) ho 12 colorazioni possibili ($ \frac {7^2-1}{4} = 12 $). Poi passo a quella appena sopra ($d5$), se quella è nera, ho 46 possibili colorazioni: posso scegliere tra $49-2$ caselle (escludendo quella centrale, visto che l'ho già considerata, e la casella stessa), ma così ho 2 casi equivalenti cioè le scelte $c4$ e $e4$, quindi ho $47-1$ colorazioni. Poichè le rotazioni delle colorazioni sono equivalenti, non devo considerare le caselle $c4$, $d3$ e $e4$, avendo già considerato la $d5$. Ora passo alla casella $c5$, per cui ho 42 colorazioni possibili, cioè posso scegliere tra le $49-6$ caselle restanti (tolgo quella centrale, la $c5$ e le quattro caselle derivanti dalla rotazione di $d5$ attorno al centro) dalle quali devo togliere una colorazione ($c3$ e $e5$ sono equivalenti). Andando avanti con questo metodo per tutte le altre caselle da ruotare (che in totale sono $12$ quaterne più quella centrale) si ottengono tutte le possibili colorazioni. Piuttosto che continuare così per ogni casella, conviene notare che dopo ogni passaggio, eccetto il primo, il numero di colorazioni diminuisce di 4, poichè escludo 4 possibili candidate per essere la seconda casella nera. Le colorazioni totali saranno quindi $ 12 + 46+42+38+34+30... +2 = 12 + \frac {12*(46+2)}{2}=300 $
Spero sia giusto

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