K quadrati

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Schalk21
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K quadrati

Messaggio da Schalk21 » 05 set 2017, 10:07

Salve a tutti, sono Schalk21 e mi sono iscritto oggi in questo forum con l' intento di progredire nella preparazione per le olimpiadi di matematica alle quali ho intenzione di partecipare l' anno prossimo.

Ho iniziato lo studio di una dispensa olimpionica e nella sezione "Logica e Matematizzazione" ho trovato questo problema che mi ha dato qualche grattacapo. Il testo dice: "Dimostra che un quadrato è scomponibile in k quadrati con k>=6"

L' idea principale che ho avuto è di usare il principio di induzione, però non sapendolo maneggiare bene ho deciso di percorrere un' altra strada dimostrando i casi nei quale k è un quadrato perfetto (soluzione banale) e k è pari. Tuttavia non riesco a farlo per k dispari. :oops:

Premetto che ho già letto le due discussioni precedenti riguardo sempre a questo problema però non ci ho capito granchè :mrgreen:

Attendo con curiosità una soluzione e grazie in anticipo.

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Lasker
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Re: K quadrati

Messaggio da Lasker » 05 set 2017, 12:51

Se hai trovato una configurazione che funziona con $k$ pari hai praticamente finito, no? Tipo se sai fare $2n$, sai fare anche $2n+3$ perché prendi un quadrato qualsiasi della suddivisione e lo dividi a sua volta in 4 quadrati uguali, e con questa cosa ti fai i dispari
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Schalk21
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Re: K quadrati

Messaggio da Schalk21 » 05 set 2017, 19:39

Lasker grazie della risposta!
Per i numeri pari ho trovato che il quadrato si può dividere in 2L/k con L il lato del quadrato e k il numero pari in questione, e i quadrati si possono raggruppare per formare k quadrati, è giusto?
La cosa che non capisco è il 2n+3: perchè devo aggiungere 3?

Fenu
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Re: K quadrati

Messaggio da Fenu » 13 set 2017, 11:48

Se fai vedere che e' possibile dividere un quadrato in $n$ quadratini, $n+1$ quadratini, ed $n+2$ quadratini, hai finito. Basta notare infatti che preso un qualsiasi quadratino della figura, possiamo a sua volta dividerlo in $4$ parti uguali, "generando" così $3$ nuovi pezzi.
Prendi in considerazione $n=4$. E' facile arrivare alla configurazione $n=7$ scegliendo un qualsiasi quadratino e dividendolo.
Il problema si conclude mostrando che sono possibili le seguenti configurazioni:
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