Aiutiamo la pallina diversa

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Vinci
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Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Vinci » 29 mag 2017, 17:43

Ho trovato questo esercizio e per quanto mi sia scervellato non sono riuscito a fare nessun passo avanti, potreste aiutarmi?
Date $13$ palline di cui una ha un peso diverso dalle altre e una bilancia a due piatti, determinare una strategia per trovare la pallina diversa con tre pesate della bilancia.
P.S. Spero di non aver sbagliato sezione.

Nadal21
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Nadal21 » 30 mag 2017, 10:36

Provo! Spero di non scrivere cavolate. :?
Prima pesata: peso 12 palline, sei in ciascun piatto. Se i piatti sono in equilibrio, la pallina che non ho pesato è la pallina diversa, altrimenti individuo il gruppo da sei che contiene quella diversa.
Seconda pesata: peso le sei palline che contengono la pallina diversa ponendone tre in ciascun piatto, così individuo il gruppo da tre che contiene quella diversa.
Terza pesata: peso due delle tre palline ponendone una in ciascun piatto. Se i piatti sono in equilibrio, la pallina che non ho pesato è la pallina diversa, altrimenti quella più pesante fra le due che ho pesato è quella diversa. :lol:
Spero di non avere scritto stupidaggini. :oops:

mr96
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da mr96 » 30 mag 2017, 11:01

Nadal21 ha scritto:
30 mag 2017, 10:36
Provo! Spero di non scrivere cavolate. :?
Prima pesata: peso 12 palline, sei in ciascun piatto. Se i piatti sono in equilibrio, la pallina che non ho pesato è la pallina diversa, altrimenti individuo il gruppo da sei che contiene quella diversa.
Seconda pesata: peso le sei palline che contengono la pallina diversa ponendone tre in ciascun piatto, così individuo il gruppo da tre che contiene quella diversa.
Terza pesata: peso due delle tre palline ponendone una in ciascun piatto. Se i piatti sono in equilibrio, la pallina che non ho pesato è la pallina diversa, altrimenti quella più pesante fra le due che ho pesato è quella diversa. :lol:
Spero di non avere scritto stupidaggini. :oops:
Non penso... Non puoi individuare il gruppo da 6, non sai se la pallina diversa è più leggera o più pesante delle altre...

Nadal21
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Nadal21 » 30 mag 2017, 12:20

hai ragione :oops:

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Lasker
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Lasker » 30 mag 2017, 15:50

Questo rischia di essere davvero difficile da spiegare a parole... Secondo me ti conviene fare un grande albero con tutte le scelte a seconda dei responsi. Comunque probabilmente i tentativi da fare con tutte le simmetrie tra palline non sono troppi (quando pesi intuitivamente devi mettere lo stesso numero di palline a destra e sinistra eccetera, ma alcuni casi come 1-1 sono ovviamente non ottimali)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Vinci
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Vinci » 30 mag 2017, 16:20

Li ho provati tutti, il problema è che pur mettendo $n$ palline su un piatto ed $n$ su un altro si scopre solo che la pallina sta tra quelle $2n$ se i pesi sono diversi, e non puoi sapere quale piatto contiene la pallina.

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Sirio
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Sirio » 30 mag 2017, 16:38

Ci smanetto un po' col computer e vi faccio sapere...

EDIT: No, meglio di no...
Ultima modifica di Sirio il 31 mag 2017, 18:18, modificato 1 volta in totale.
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

andreac
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da andreac » 31 mag 2017, 10:41

Prima parte, può andare?
Testo nascosto:
Raggruppo così le palline: metto 4 palline sul primo piatto, 4 sul secondo e 5 da parte.

Pesata 1
I piatti sono in equilibrio, la pallina diversa è nel gruppo delle 5 escluse.

Pesata 2
Tolgo una pallina dal primo piatto in modo che me ne restino 3. Dal secondo piatto invece elimino tutte le palline e le sostituisco con 3 dell'insieme delle palline esclue: ho due possibili scenari.
- 1 = piatti in equilibrio, la pallina diversa è una delle due rimaste del gruppo delle escluse. La terza pesata consiste nel confrontare una delle due palline escluse con una delle palline sicuramente buone. Se il confronto si conclude con bracci in equilibrio, la pallina isolata del gruppo delle escluse è la pallina diversa. Altrimenti la pallina diversa è quella che ho appena messo nel secondo piatto per il confronto.

- 2 = piatti non in equilibrio. Ho due informazioni: se il piatto con le palline del gruppo delle escluse (il piatto "2") sale, la pallina diversa è più leggera, viceversa è più pesante. Per la terza pesata procedo così: elimino una pallina per piatto (ne restano 2 per lato). Scambio una pallina da un piatto all'altro. Ho adesso tre sotto-casi:
- piatti in equilibrio: le palline sul piatto 2 (che conteneva la pallina diversa) sono tutte "buone", quindi la pallina diversa è quella che ho eliminato.
- permane la situazione di squilibrio precedente (se il piatto 2 era più leggero/pesante prima lo è anche adesso): la pallina rimasta nel piatto 2 è quella diversa.
- la situazione di squilibrio si inverte: la pallina che ho spostato dal piatto 2 al piatto 1 è quella diversa.

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Sirio
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Sirio » 31 mag 2017, 13:28

Mi sa di sì
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Talete
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Talete » 31 mag 2017, 15:12

Questo è bello, me l'avevano già proposto qualche tempo fa. La soluzione di Andrea mi pare giusta ;)

Adesso generalizzatelo (so che si può fare): con $n$ pesate, qual è il numero massimo di palline per cui c'è una strategia per riconoscere quella diversa?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Vinci
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da Vinci » 31 mag 2017, 20:16

Rimane ancora da fare il caso in cui dopo la prima pesata i due piatti non sono in equilibrio

andreac
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Re: Aiutiamo la pallina diversa

Messaggio da andreac » 01 giu 2017, 10:27

Vinci ha scritto:
31 mag 2017, 20:16
Rimane ancora da fare il caso in cui dopo la prima pesata i due piatti non sono in equilibrio
Seconda parte
Testo nascosto:
Dopo la prima pesata i piatti non sono in equilibrio: la pallina diversa è tra le 8 sui piatti, mentre le 5 del gruppo non pesato sono tutte uguali tra di loro (chiamiamole palline "buone")

Per la seconda pesata:
- elimino, sostituendole con 3 palline del primo piatto, 3 palline dal secondo piatto. Utilizzo 3 palline "buone" per integrare la pallina rimasta da sola nel primo piatto.

Ho di nuovo dei casi da analizzare:
- i piatti sono in equilibrio. Questo implica che la pallina "diversa" apparteneva al gruppo di 3 palline eliminate dal secondo piatto. Devo utilizzare adesso l'informazione derivata dal tipo di "pendenza" dei piatti alla pesata precedente. Se il secondo piatto era giù, concludo che la pallina diversa è più pesante di una pallina normale, viceversa altrimenti. Forte di questa osservazione, nella terza pesata uso 2 palline del gruppo delle 3 che ho eliminato e sostituto nel secondo piatto alla seconda pesata: in particolare, la terza pesata prevede una pallina per lato di suddetto gruppo da tre, pesata che mi porta a concludere quale sia la pallina diversa (se piatti in equilibrio, la pallina diversa è quella che non ho pesato, altrimenti osservo la pendenza e scelgo quella che ha generato lo stesso tipo di non equilibrio che si è verificato nella pesata 2)

- i piatti non sono in equilibrio e si muovono concordemente alla pesata precedente (i.e: se il piatto 2 andava giù alla prima pesata, dopo l'operazione di spostamento e sostituzione alla seconda pesata, continua ad andare giù): la pallina diversa è quella rimasta nel primo piatto, o quella rimasta nel secondo piatto del gruppo della prima pesata. Alla terza pesata, confronto una di queste due con una pallina "buona" e concludo.

- i piatti non sono in equilibrio e si muovono discordemente alla pesasta precedente: la pallina diversa è nel gruppo delle 3 palline del piatto 1 che sono finite nel piatto 2. Di nuovo tramite l'osservazione del comportamento dei piatti, posso dedurre se la pallina diversa è più leggera o più pesante di una pallina buona. La terza pesata consiste nel confronto tra due palline delle 3 spostate dal piatto 1 al piatto 2.

E dovrei aver finito

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