OliForum Matematico

Ogni anno si tengono a Pisa alcuni stage di matematica. A questi partecipano $n$ stagisti, sempre gli stessi (sono ormai dei galleggianti anziani). Sam ad ogni stage dà $s_i$ scappellotti all'$i$-esimo stagista. Un'attenta equipe medica ha definito un numero intero positivo $a_i$ per ogni stagista che indica il suo grado di resistenza: se lo stagista riceve più di $a_i$ scappellotti nel corso di uno stage, il suo osso del collo si spezza e muore. Sam vuole evitare questo spiacevole inconvenitente, quindi ogni volta il numero di scappellotti che da è $1\leq s_i\leq a_i$.
Sam è definito soddisfatto se, chiamati $s_1,s_2\ldots s_n$ e $s'_1, s'_2, \ldots s'_n$ il numero di scappellotti che da in due stage consecutivi, allora $s'_i>s_i$ per almeno $n-1$ degli $n$ possibili indici $i$.

Dimostrare che se $$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} \leq \frac{1}{2}$$ allora Sam potrà essere soddisfatto in eterno.

karlosson_sul_tetto ha scritto: ↑01 mag 2017, 13:56il suo osso del collo si spezza e muore. Sam vuole evitare questo spiacevole inconvenitente

Boh, sei sicuro?

Federico II ha scritto: ↑01 mag 2017, 20:03 Boh, sei sicuro?

Per definizione di soddisfatto, il numero di scappellotti deve aumentare per almeno $n-1$ stagisti. Dimostrare (lo lascio per esercizio) che se uno stagista è morto e quindi all'obitorio e dunque impossibilitato fisicamente a ricevere percosse allora è impossibile che Sam sia soddisfatto solo con i rimanenti $n-1$ stagisti.