Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$

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jordan
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Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:29

(5. Da qui) Determinare il più piccolo intero $n>3$ tale che, qualunque sia la partizione di $\{3,4,\ldots,n\}$ in due insiemi, allora almeno uno dei due insiemi contiene tre numeri $a,b,c$ (non necessariamente distinti) tali che $ab=c$.
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RiccardoKelso
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Re: Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$

Messaggio da RiccardoKelso » 08 feb 2017, 13:10

Testo nascosto:
Si ha che l'$n$ cercato è necessariamente minore di $3^5$, in quanto per $n=3^5$ si ha almeno un insieme come richiesto solo considerando le potenze di 3.
Poi, esponiamo una partizione di $N=\{3,..,3^5-1\}$ che soddisfi: $A=\{3,4,5,6,7,8,9\cdot 9,..,9\cdot 26,10\cdot 10,..,10\cdot 24,11\cdot 11,..,11\cdot 21,12\cdot 12,..,12\cdot 20,13\cdot 13,..,13\cdot 18,14\cdot 14,..,14\cdot 17,15\cdot 15,..,15\cdot 16\}$ e $B=N\setminus A$. Per vedere che soddisfa basta notare che non è possibile ottenere un elemento di $A$ come prodotto di due elementi di $A$ e che tutti i naturali $b\leq 242$ ottenibili come prodotto di $b_1,b_2$, con $10\leq b_i\leq 81$, sono in $A$.
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$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

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RiccardoKelso
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Re: Partizioni di $\{3,4,\ldots,n\}$

Messaggio da RiccardoKelso » 16 feb 2017, 20:19

Speravo tanto che qualcuno pubblicasse una soluzione che non fosse motivo di onta..
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