Carino

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AlexThirty
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Carino

Messaggio da AlexThirty » 18 gen 2017, 18:31

Trovare tutti i numeri naturali $ n $(non artificiali come i vaccini e le shie kimiche!!!!1!!1!1!!) tali per cui esiste una permutazione $ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ di $ (1,2,\ldots,n) $ per cui valga $ k|a_1+a_2+\ldots+a_k $ per ogni $ 1\leq k\leq n $

La sezione giusta era TdN ma vabbè :mrgreen:
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

Giovanni_98
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Re: Carino

Messaggio da Giovanni_98 » 18 gen 2017, 21:34

Per prima cosa notiamo che $n$ è un numero dispari. Infatti prendendo $\sum_{i=1}^n a_i = \frac{n(n+1)}{2}$ che per le ipotesi del testo è $\equiv 0 \pmod n$ si ha che se $n$ è pari allora $v_2(n) > v_2(\frac{n(n+1)}{2}) = v_2(n)-1$ e quindi non vale la relazione di congruenza prima scritta, da cui $n$ è dispari.

Ora , supponiamo che $n\ge 5$. Notiamo che $n-1 \mid \frac{n(n+1)}{2} - a_n$ da cui $\frac{n(n+1)}{2} - a_n = (n-1)t$. Dal momento che $1 \leq a_n \leq n$ si ottiene che $\frac{n(n+1)}{2} - n \leq \frac{n(n+1)}{2} - a_n \leq \frac{n(n+1)}{2} - 1 \Rightarrow \frac{n}{2} \leq t \leq \frac{n+2}{2}$. Ricordando che $n$ è dispari si ha che $t = \frac{n+1}{2} \Rightarrow a_n = \frac{n+1}{2}$.

Sempre per le ipotesi del testo vale $n-2 \mid \sum_{i=1}^{n-2} a_i = \frac{n^2-1}{2} - a_{n-1}$. Ragionando analogamente a prima e sfruttando il fatto che $n > 3$ dispari si ottiene che $a_{n-1} = \frac{n+1}{2}$, ma questo chiaramente è impossibile dal momento in cui noi stiamo supponendo che la successione $a_1,\cdots,a_n$ sia una permutazione dell'insieme $\{1,2,\cdots,n\}$. Ne consegue che gli unici $n$ che possono funzionare sono $1$ e $3$. Per $n=1$ la tesi è ovviamente soddisfatta, per $n=3$ è sufficiente considerare la terna $(a_1,a_2,a_3) = (1,3,2)$ che soddisfa tutte le condizioni del testo, pertanto ambo i numeri funzionano, risultando quindi essere gli unici interi positivi che soddisfano.

AlexThirty
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Iscritto il: 20 giu 2015, 20:58

Re: Carino

Messaggio da AlexThirty » 18 gen 2017, 21:47

Bene, ora proviamo con lo stesso problema ma con $ k|2(a_1+\ldots+a_k) $. Determinare il numero di permutazioni possibili (stavolta esistono per tutti gli $ n $) per ogni $ n $ dell'insieme $ (1,\ldots,n) $ in modo che la condizione sia rispettata
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