pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

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bern-1-16-4-13
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pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

Messaggio da bern-1-16-4-13 » 04 gen 2017, 19:51

sia $A\subseteq\mathbb{Z}^+$. Definiamo intero $pulito$ ogni intero positivo $n$ tale che esiste ed è unico $B\subseteq A$ tale che $\left\vert B\right\vert$ è dispari e $\sum_{i\in B}i=n$. Dimostrare che allora esistono infiniti interi positivi sporchi (quindi allegare la dimostrazione in un reclamo per incrementare la frequenza della pulizia dei numeri).

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Sirio
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Re: pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

Messaggio da Sirio » 08 gen 2017, 13:39

Provo...
Testo nascosto:
Dunque, per $A$ finito, perdonate l'espressione vietata nelle gare, la tesi è ovvia: tutti i numeri maggiori di $\displaystyle\sum_{i\in A}{i}$ sono sporchi. Quindi, poniamo che $A$ sia infinito.
Poniamo che $\alpha\in A$ sia sporco. Chiamiamo $X⊆A$ un insieme diverso da $\left\{\alpha\right\}$ tale che $\displaystyle\sum_{i\in X}{i}=\alpha$. Per ogni intero $\beta\in A$ tale che $\beta>\alpha$, poiché $\beta$ non appartiene ad $X$, $\alpha+\beta$ è sporco, perché esistono almeno due insiemi $Y⊆A$ tali che $\displaystyle\sum_{i\in Y}{i}=\alpha+\beta$:
$Y_1=X\cup\left\{\beta\right\}$
$Y_2=\left\{\alpha ;\beta\right\}$
Poiché $A$ è infinito, $\beta$ può assumere infiniti valori, quindi esistono infiniti numeri della forma $\alpha+\beta$ e quindi esistono infiniti numeri sporchi, come la tesi richiede. È quindi sufficiente dimostrare l'esistenza di un $\alpha\in A$ che sia sporco, ovvero di un insieme $X⊆A$ diverso da $\left\{\alpha\right\}$ tale che $\displaystyle\sum_{i\in X}{i}=\alpha$ per almeno un $\alpha\in A$, per dimostrare la tesi.
Poniamo per assurdo che questo non accada e prendiamo quindi un insieme $A$ tale che tutti i suoi elementi siano puliti.
Qui, per ora, mi fermo, perché ora come ora non mi viene in mente come proseguire. Posterò la continuazione del problema in un secondo momento, a meno che non scriviate che è un'idea assurda e ch'è meglio ricominciare daccapo.
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

cip999
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Re: pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

Messaggio da cip999 » 08 gen 2017, 14:42

Testo nascosto:
Sirio ha scritto:È quindi sufficiente dimostrare l'esistenza di un $\alpha\in A$ che sia sporco, ovvero di un insieme $X⊆A$ diverso da $\left\{\alpha\right\}$ tale che $\displaystyle\sum_{i\in X}{i}=\alpha$ per almeno un $\alpha\in A$, per dimostrare la tesi.
È vero, ma quando lo dimostri ti dimentichi del fatto che gli insiemi devono avere cardinalità dispari. Nel prossimo spoiler ti hinto una versione più generale di questo statement che, credo, è un punto di partenza obbligato per produrre una soluzione di questo problema...
Testo nascosto:
Prova a dimostrare che, supponendo l'assurdo, ogni intero positivo ha al più una rappresentazione come somma di un numero dispari di elementi di $A$, e al più una rappresentazione come somma di un numero pari di elementi di $A$.
Comunque dai, dall'ultima pulizia sono passati appena 17 anni e 5 giorni, non è poi così tanto! :P
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

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Sirio
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Re: pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

Messaggio da Sirio » 09 gen 2017, 17:18

cip999 ha scritto:ti dimentichi del fatto che gli insiemi devono avere cardinalità dispari
Questo errore è veramente imbarazzante :oops: :oops:
Comunque, per risolverlo...
Testo nascosto:
Sirio ha scritto:Per ogni intero $\beta∈A$ tale che $β>α$, poiché $β$ non appartiene ad $X$, $α+β$ è sporco
...basta mettere qui $\beta+\gamma$ anziché $\beta$, e ce ne sono comunque infiniti.
Detto questo, è fattibile proseguire per la strada da me iniziata?
シリオ
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bern-1-16-4-13
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Re: pulizia dei numeri ogni primo lunedì del millennio

Messaggio da bern-1-16-4-13 » 09 gen 2017, 18:09

Sì, l'osservazione che hai fatto tu, magari meglio nella versione più generalizzata che ti ha suggerito cip, è un buon inizio di dimostrazione.

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