Tanti punti allineati

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jordan
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Tanti punti allineati

Messaggio da jordan » 13 dic 2016, 22:04

Siano dati $n$ punti nel piano tali che, presi due punti a caso, ne esiste almeno un terzo allineato. Mostrare che tutti i punti sono su una stessa retta.
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Vinci
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 14 dic 2016, 13:27

Provo per induzione. Passo base: se $n=3$, presi due punti a caso tra i $3$, e chiamata $r$ la retta che passa per quei due punti, ho un solo modo di scegliere un terzo punto, che si troverà quindi su $r$ per ipotesi. Quindi sono tutti e $3$ allineati.
Passo induttivo: poniamo, per ipotesi induttiva, che se ho $n$ punti con questa proprietà, essi sono tutti allineati, e chiamiamo $s$ la retta su cui giacciono. Aggiungo un punto $(n+1)$-esimo e lo chiamo $P$. Comunque prendo due punti $A$ e $B$ tra i primi $n$, affinchè siano allineati con $P$, $P$ deve trovarsi sulla retta congiungente $A$ e $B$, che è proprio la retta $s$. Dato che $P$ si trova su $s$, tutti gli $n+1$ punti sono allineati.
Non so se questo problema era facile, o se ho fatto un errore madornale di cui non mi rendo conto. Fammi sapere! :D

mr96
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da mr96 » 14 dic 2016, 14:09

Mi è semblato di vedele un gatto :roll:

Vinci
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 14 dic 2016, 14:50

Dove ho sbagliato?

scambret
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da scambret » 14 dic 2016, 15:38

Non vado a dirti se hai sbagliato o meno, ti do un consiglio però che mi è servito molto spesso.
La tecnica dell'"Aggiungitore" è sbagliata a prescindere: non puoi dire che da $n$ ne aggiungi uno e arrivi a $n+1$. Così soddisfi tutte le configurazioni?
La tecnica che potresti provare è il "Sottrattore": considera $n+1$ punti a caso. Di questi, ne scegli $n$ e li applichi l'ipotesi induttiva. Poi magari neanche così si fa, magari hai bisogno di altro.

Vinci
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 14 dic 2016, 16:16

Provo a modificare il passo induttivo. Prendiamo $n+1$ numeri con quella proprietà. Consideriamone $n$ e chiamiamo $A$ il punto che rimane fuori. Per ipotesi induttiva questi n punti sono allineati, e chiamiamo $s$ la retta su cui giacciono. Consideriamo ora un altro insieme di $n$ punti, che stavolta contiene $A$, e chiamiamo $B$ il punto che resta fuori e $t$ la retta su cui giacciono. Tutti gli $n-1$ punti diversi da $A$ e da $B$ appartengono ad entrambi gli insiemi di punti, sono allineati, e dato che $n+1 \ge 4$ si ha che $n-1 \ge 2$, e quindi la retta che li congiunge è unica. Dato che questa retta va ad identificarsi sia con $s$ che con $t$, queste ultime due coincidono, quindi $A$ giace su $s$ e tutti gli $n+1$ punti sono allineati.
Così è giusto?

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Gerald Lambeau
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Gerald Lambeau » 14 dic 2016, 16:34

No.
Tu hai $n+1$ punti che rispettano le ipotesi, ma se ne prendi solo $n$ non è detto che continuino a rispettarle: potrebbero esistere due punti di quegli $n$ tali che l'unico terzo punto con loro allineato è quello che hai escluso, e questo potrebbe accadere qualunque sia il punto che escludi.
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da RiccardoKelso » 14 dic 2016, 17:02

Plauso per jordan che tiene vive le sezioni di problemi anche a costo di infamate (in senso buono, ovviamente)
Testo nascosto:
Se per assurdo così non fosse.. dopo tanto tempo arrivò Kelly. (se non sono stato vittima di un tremendo misunderstanding dovuto al ridotto numero di secondi che ho dedicato a pensare prima di scrivere :lol: )
Hai paura di bagnarti?

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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 14 dic 2016, 17:34

Gerald Lambeau ha scritto:No.
Tu hai $n+1$ punti che rispettano le ipotesi, ma se ne prendi solo $n$ non è detto che continuino a rispettarle: potrebbero esistere due punti di quegli $n$ tali che l'unico terzo punto con loro allineato è quello che hai escluso, e questo potrebbe accadere qualunque sia il punto che escludi.
Giusto, grazie per la delucidazione, non ci avevo proprio pensato

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Gerald Lambeau
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Gerald Lambeau » 14 dic 2016, 17:41

Vinci ha scritto:Giusto, grazie per la delucidazione, non ci avevo proprio pensato
Prego :)
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jordan
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da jordan » 14 dic 2016, 20:23

RiccardoKelso ha scritto:Plauso per jordan che tiene vive le sezioni di problemi anche a costo di infamate (in senso buono, ovviamente)
Penso tutte le strade siano istruttive, quelle sbagliate ancora di piu' :roll:
Ps. Giusto per Kelly; un altro classico (che magari risulta "facile" una volta vista la soluzione) penso sia questo.
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Vinci
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 14 dic 2016, 21:07

:mrgreen: Un piccolo hinticinoo??

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jordan
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da jordan » 14 dic 2016, 22:08

Certo:
Testo nascosto:
Le possibili distanze (positive) da un qualche punto a una qualche retta sono finite, quindi in particolare ce ne sarà una piu' [...]
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da Vinci » 26 dic 2016, 12:42

Non sono riuscito a farlo, ma sono troppo curioso. La soluzionee?

mr96
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Re: Tanti punti allineati

Messaggio da mr96 » 26 dic 2016, 13:22

Vinci ha scritto:Non sono riuscito a farlo, ma sono troppo curioso. La soluzionee?
Testo nascosto:

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