Coloriamo altre cose

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matpro98
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Re: Coloriamo altre cose

Messaggio da matpro98 » 13 nov 2016, 19:17

Se ti accontenti di una spiegazione veloce, eccola
Se hai una formula ricorsiva in una sola variabile, puoi trasformare i pedici in esponenti e risolvere l'equazione. A questo punto scrivi $x_n=\sum \alpha_i r_i^n$ con $r_i$ soluzioni dell'equazione e $\alpha_i $ parametri che individui con un sistema con i primi casi fatti a mano

Gerald Lambeau
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Re: Coloriamo altre cose

Messaggio da Gerald Lambeau » 13 nov 2016, 19:26

Vinci ha scritto:Mi interessa sapere come si risolve questa ricorsione, puoi scriverlo per favore, o indicarmi una lezione dei senior dove viene spiegato come risolvere ricorsioni del genere?
Il metodo risolutivo dovrebbe trovarsi in un qualunque Senior Basic A3. Il fatto che i coefficienti della ricorsione non sono noti ma sono in funzione di $k$ non deve spaventarti: $k$ è dato, quindi tu continui a risolvere normalmente considerando qualunque cosa espressa solo in funzione di $k$ come nota, compresi i coefficienti della ricorsione ed eventuali casi piccoli trovati a mano.
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Vinci
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Re: Coloriamo altre cose

Messaggio da Vinci » 14 nov 2016, 15:24

Grazie mille a entrambi, non ho capito il fatto del trasformare i pedici in esponenti, ma andrò a rivedermi un A3 (quello che ho visto deve aver saltato l'argomento). :)

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Re: Coloriamo altre cose

Messaggio da EvaristeG » 27 nov 2016, 13:50

Direi Algebra 3 (ricorrenze e funzionali). Mini-ripasso a seguire (nascosto perché tanto oramai hanno già risposto, ma avevo scritto e non mi andava di buttare tutto).
Testo nascosto:
Se hai $a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$, tutto passa dalle soluzioni dell'equazione (caratteristica) $x^2-\alpha x - \beta=0$; nel caso felice hai due soluzioni reali distinte ($\Delta>0$) che puoi chiamare $\lambda_+$ e $\lambda_-$ e allora sai che $a_n=c_+(\lambda_+)^n+c_-(\lambda_-)^n$. Ora imponi i dati di $a_0$ e $a_1$ e ricavi $c_+$ e $c_-$.
In questo caso l'equazione è $x^2-(k-2)x-(k-1)=0$ e si vede subito che $(k-1)$ e $-1$ sono soluzioni, dunque $B_n=c_+(k-1)^n+c_-(-1)^n$; ora imponi che valgano le formule per due valori di $n$ per cui puoi calcolare $B_n$ e risolvi il sistema lineare che ne risulta in $c_+$ e $c_-$.
Per quando le radici sono coincidenti oppure complesse, ti rimando alla lezione di Algebra 3 di un qualche basic. Inoltre, il metodo si può estendere a ricorsioni più "profonde", a patto di saper risolvere le equazioni associate.

Trucchetto: se hai una ricorsione $B_n$ e definisci $D_n=B_{n+3}$, queste avranno la stessa formula ricorsiva, ma dati diversi, dunque anche $D_n=d_+(k-1)^n+d_-(-1)^n$ e $D_0=B_3=k(k-1)(k-2)$, mentre $D_1=k(k^3-4k^2+6k-3)$, da cui
$d_++d_-=k(k-1)(k-2)$ e $(k-1)d_+-d_-=k(k^3-4k^2+6k-3)$ che, ad esempio, implica $d_+=k^3-4k^2+6k-3+k^2-3k+2=k^3-3k^2+3k-1=(k-1)^3$ e quindi $d_-=k(k-1)(k-2)-(k-1)^3=(k-1)(k^2-2k-k^2+2k-1=(k-1)$.
Ovvero $D_n=(k-1)^3(k-1)^n+(k-1)(-1)^n$ da cui $B_n=D_{n-3}=(k-1)^n+(k-1)(-1)^n$.

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