Gli scoiattoli vadano a casa loro!

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scambret
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Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da scambret » 06 nov 2016, 11:54

52 alberi sono disposti su una circonferenza. Se 15 scoiattoli vivono su questi alberi (al massimo uno scoiattolo per albero), mostrare che esiste un gruppo di 7 alberi consecutivi su cui vivono almeno 3 scoiattoli in totale.
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Talete
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Re: Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da Talete » 06 nov 2016, 12:21

Testo nascosto:
Sia $\mathcal X$ la cardinalità dell'insieme delle coppie $(\mathcal S,\Omega)$, dove $\mathcal S$ è uno scoiattolo e $\Omega$ è un insieme di sette alberi consecutivi che comprende lo scoiattolo $\mathcal S$. Supponiamo la tesi falsa ed effettuiamo un double-counting su $\mathcal X$.

Scoiattolo-wise: per ogni $\mathcal S$ scoiattolo, esistono $7$ possibili $\Omega$ comprendenti l'albero su cui sta $\mathcal S$: quindi
\[\mathcal X=15\cdot7=105.\]

Insieme-di-alberi-wise: per ogni $\Omega$ insieme di sette alberi consecutivi, abbiamo supposto per assurdo che ci sono al massimo $2$ scoiattoli sopra questi alberi: quindi
\[\mathcal X\le 52\cdot2=104.\]

Questo porta a $105\le104$, assurdo.
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Sirio
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Re: Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da Sirio » 06 nov 2016, 13:24

Premesso che non ho guardato la soluzione di Talete, metto la mia:
Testo nascosto:
Prendo tre alberi consecutivi. Se non vi abita nessuno scoiattolo allora $15$ scoiattoli abitano in $49$ alberi e vinco per pigeonhole. È quindi sufficiente dimostrare che esiste sempre una terna di alberi consecutivi vuoti.
Considero tutti gli alberi tranne un albero vuoto e partiziono l'insieme di questi alberi in $\dfrac{51}{3}=17$ terne di alberi consecutivi. Dal momento che gli scoiattoli sono $15$ ho vinto.
Adesso che ho finito ho guardato la soluzione di Talete e vi annuncio che la mia è più semplice :D .
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Re: Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da Talete » 06 nov 2016, 17:21

Sirio ha scritto:Adesso che ho finito ho guardato la soluzione di Talete e vi annuncio che la mia è più semplice :D .
Ma è perché io uso le notazioni tanto astruse quanto apprezzate dai correttori :D
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Re: Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da Sirio » 06 nov 2016, 17:28

Talete ha scritto:
Sirio ha scritto:Adesso che ho finito ho guardato la soluzione di Talete e vi annuncio che la mia è più semplice :D .
Ma è perché io uso le notazioni tanto astruse quanto apprezzate dai correttori :D
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Re: Gli scoiattoli vadano a casa loro!

Messaggio da scambret » 06 nov 2016, 17:59

Boh a me piace più quella di Talete per come è scritta, dalla prima riga sai che è giusta per come indica le cose.
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