OliForum Matematico

Siano dati $n$ differenti colori e $r>0$ numero reale. Dire se, comunque si colori il piano cartesiano con $n$ colori, esistono due punti A e B a distanza $r$ colorati con lo stesso colore con
a) $n=2$
b) $n=3$
c) $n=9$

a) b) c)

Good. Qualcuno ha idee per $4 \leq n \leq 8$?

Tanti auguri --- è un problema aperto. Si sa solo che con 7 e 8 la risposta è no (e questo è un problema alla vostra portata).

Qualora io dimostrassi che, comunque si colori $\mathbb{Q}^2$ con $n$ colori, esistono due punti $A$ e $B$ a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, avrei dimostrato che vale anche per $\mathbb{R}^2$ perché posso porre $r$ wlog algebrico oppure no perché in quel caso perdo generalità?

Lavorando su $ \mathbb{Q}^2 $ credo che tu stia supponendo che $ r $ sia un reale algebrico di grado al più 2, il che mi sembra proprio faccia perdere generalità.

Se hai dimostrato che colorando $\mathbb{Q}^2$ con $n$ colori esistono due punti a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, allora anche colorando $\mathbb{R}^2$ con $n$ colori esistono due punti a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, semplicemente perche $\mathbb{Q}^2$ e' un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$, senza scomodare l'algebra. O non sto capendo io quello che vuoi dire?

Hai capito quello che voglio dire. La mia obiezione era che per $\mathbb{Q}^2$ $r$ deve essere esprimibile come $\sqrt{x}$ con $x\in\mathbb{Q}$ e mi pareva che si perdesse generalità.

Però effettivamente se per $\mathbb{Q}^2$ riesco a dimostrare, allora per $\mathbb{R}^2$ considero l'insieme $A=${$x\in\mathbb{R}$ $t.c. \rho\cdot x\in\mathbb{Q}; \rho\in\mathbb{R}$}, che è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$. Poiché $\mathbb{Q}^2$ è colorabile per $r=1$ (concedetemi questa espressione), allora $A^2$ è colorabile per $r=\rho$, quindi $\mathbb{R}^2$ è colorabile per $r=\rho$, quindi $\mathbb{R}^2$ è colorabile per ogni $r$ reale.

Questo è il ragionamento che sta dietro a quello che hai scritto, giusto?

E aggiungo, lo stesso vale se parto da $\mathbb{Z}^2$ anziché da $\mathbb{Q}^2$?

Ok, ora ho capito qual è la tua domanda, ed è una buona domanda. Riassumendo: il testo del problema ti dà $r>0$ fissato, e se vogliamo risolverlo facendo giochini su $\mathbb{Q}^2$, allora potremo riuscirci solo per alcune scelte di $r$: per esempio, se qualcuno ci dà il problema da risolvere per $r=\pi$, qualunque cosa facciamo non riusciremo mai a dimostrare che in $\mathbb{Q}^2$ ci sono due punti a distanza $\pi$.

Però, come noti tu, possiamo ridurci a un valore particolare di $r\neq 0$ a nostra scelta: se sappiamo risolvere il problema per (per esempio) $r=1$, allora lo sappiamo risolvere per tutti gli $r$. Quindi lo step 1 di un'ipotetica dimostrazione potrebbe essere ridursi a $r=1$.

Per $\mathbb{Z}^2$ è la stessa cosa. Supponi di aver dimostrato che dato qualunque modo di colorare $\mathbb{Z}^2$ con $n$ colori, allora ce ne sono due a distanza $\sqrt{37}$ con lo stesso colore. Allora hai anche dimostrato che dato qualunque modo di colorare $\mathbb{R}^2$ con $n$ colori allora ce ne sono due a distanza $\sqrt{37}$ con lo stesso colore: ti basta considerare quelli a coordinate intere all'interno di $\mathbb{R}^2$. E, come detto nel paragrafo sopra, se hai dimostrato la tesi per $\sqrt{37}$ allora hai vinto.

Ok, grazie mille.

In realtà non ho ancora cominciato a dimostrare, ma questo può tornare utile.

Soluzione trollosa per $n=7$.


Il lato dell'esagono è uguale a $\frac{r}{2}$, in modo che la massima distanza tra due punti dell'esagono sia $r$.
I bordi appartengono alla tessera che sta a sud/est del lato, ovvero ogni tessera presenta contiene il bordo Nord, Nord-Ovest e Sud-Ovest.

O sono daltonico io, o hai fatto il disegno per $n=9$ tu

Epic fail, non c'è che dire

Cerco di salvarmi la pellaccia facendo (questa volta per davvero) il caso $n=8$; EDIT: ecco la colorazione esagonale con 7 che avevo originariamente trovato su carta (per giustificare in qualche modo la figuraccia)