colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

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scambret
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colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da scambret » 26 ott 2016, 17:33

Siano dati $n$ differenti colori e $r>0$ numero reale. Dire se, comunque si colori il piano cartesiano con $n$ colori, esistono due punti A e B a distanza $r$ colorati con lo stesso colore con
a) $n=2$
b) $n=3$
c) $n=9$
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matpro98
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da matpro98 » 27 ott 2016, 17:17

a)
Testo nascosto:
Sì: triangolo equilatero di lato $r$, quindi pigeonhole
b)
Testo nascosto:
Sì: prendo un punto WLOG blu e considero la circonferenza di raggio $\sqrt{3}r$; se tutti i punti sono blu, ho vinto, altrimenti ce n'è uno WLOG verde. Considero quindi la circonferenza di raggio $r$: contiene i due punti a distanza $r$ dai due punti già considerati e vinco per pigeonhole
c)
Testo nascosto:
No: considero una tassellazione del piano in quadrati di lato $\dfrac{\sqrt{2}r}{2}$ (o $\dfrac{\sqrt{2}r}{2} - \varepsilon$ se serve) e coloro i quadrati con i colori $1,2,\dots$ in questo modo:
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
1 2 3 1 2 3
e così via. Due quadrati con lo stesso colore distano $\sqrt{2}r>r$, quindi ho trovato una configurazione che smentisce

scambret
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da scambret » 28 ott 2016, 16:26

Good. Qualcuno ha idee per $4 \leq n \leq 8$?
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da fph » 28 ott 2016, 16:53

Tanti auguri --- è un problema aperto. :mrgreen: Si sa solo che con 7 e 8 la risposta è no (e questo è un problema alla vostra portata).
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da Sirio » 30 ott 2016, 19:43

Qualora io dimostrassi che, comunque si colori $\mathbb{Q}^2$ con $n$ colori, esistono due punti $A$ e $B$ a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, avrei dimostrato che vale anche per $\mathbb{R}^2$ perché posso porre $r$ wlog algebrico oppure no perché in quel caso perdo generalità?
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da MATHia » 30 ott 2016, 21:15

Lavorando su $ \mathbb{Q}^2 $ credo che tu stia supponendo che $ r $ sia un reale algebrico di grado al più 2, il che mi sembra proprio faccia perdere generalità.

fph
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da fph » 30 ott 2016, 22:51

Se hai dimostrato che colorando $\mathbb{Q}^2$ con $n$ colori esistono due punti a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, allora anche colorando $\mathbb{R}^2$ con $n$ colori esistono due punti a distanza $r$ colorati con lo stesso colore, semplicemente perche $\mathbb{Q}^2$ e' un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$, senza scomodare l'algebra. O non sto capendo io quello che vuoi dire?
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da Sirio » 31 ott 2016, 10:22

Hai capito quello che voglio dire. La mia obiezione era che per $\mathbb{Q}^2$ $r$ deve essere esprimibile come $\sqrt{x}$ con $x\in\mathbb{Q}$ e mi pareva che si perdesse generalità.

Però effettivamente se per $\mathbb{Q}^2$ riesco a dimostrare, allora per $\mathbb{R}^2$ considero l'insieme $A=${$x\in\mathbb{R}$ $t.c. \rho\cdot x\in\mathbb{Q}; \rho\in\mathbb{R}$}, che è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$. Poiché $\mathbb{Q}^2$ è colorabile per $r=1$ (concedetemi questa espressione), allora $A^2$ è colorabile per $r=\rho$, quindi $\mathbb{R}^2$ è colorabile per $r=\rho$, quindi $\mathbb{R}^2$ è colorabile per ogni $r$ reale.

Questo è il ragionamento che sta dietro a quello che hai scritto, giusto?

E aggiungo, lo stesso vale se parto da $\mathbb{Z}^2$ anziché da $\mathbb{Q}^2$?
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da fph » 31 ott 2016, 11:40

Ok, ora ho capito qual è la tua domanda, ed è una buona domanda. Riassumendo: il testo del problema ti dà $r>0$ fissato, e se vogliamo risolverlo facendo giochini su $\mathbb{Q}^2$, allora potremo riuscirci solo per alcune scelte di $r$: per esempio, se qualcuno ci dà il problema da risolvere per $r=\pi$, qualunque cosa facciamo non riusciremo mai a dimostrare che in $\mathbb{Q}^2$ ci sono due punti a distanza $\pi$.

Però, come noti tu, possiamo ridurci a un valore particolare di $r\neq 0$ a nostra scelta: se sappiamo risolvere il problema per (per esempio) $r=1$, allora lo sappiamo risolvere per tutti gli $r$. Quindi lo step 1 di un'ipotetica dimostrazione potrebbe essere ridursi a $r=1$.

Per $\mathbb{Z}^2$ è la stessa cosa. Supponi di aver dimostrato che dato qualunque modo di colorare $\mathbb{Z}^2$ con $n$ colori, allora ce ne sono due a distanza $\sqrt{37}$ con lo stesso colore. Allora hai anche dimostrato che dato qualunque modo di colorare $\mathbb{R}^2$ con $n$ colori allora ce ne sono due a distanza $\sqrt{37}$ con lo stesso colore: ti basta considerare quelli a coordinate intere all'interno di $\mathbb{R}^2$. E, come detto nel paragrafo sopra, se hai dimostrato la tesi per $\sqrt{37}$ allora hai vinto.
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da Sirio » 31 ott 2016, 12:07

Ok, grazie mille.

In realtà non ho ancora cominciato a dimostrare, ma questo può tornare utile.
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 01 nov 2016, 14:35

Soluzione trollosa per $n=7$.


Il lato dell'esagono è uguale a $\frac{r}{2}$, in modo che la massima distanza tra due punti dell'esagono sia $r$.
I bordi appartengono alla tessera che sta a sud/est del lato, ovvero ogni tessera presenta contiene il bordo Nord, Nord-Ovest e Sud-Ovest.
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da matpro98 » 01 nov 2016, 14:44

O sono daltonico io, o hai fatto il disegno per $n=9$ tu

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karlosson_sul_tetto
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Re: colorando il piano cartesiano quante cose che impariamo

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 01 nov 2016, 15:47

Epic fail, non c'è che dire :oops: :lol:

Cerco di salvarmi la pellaccia facendo (questa volta per davvero) il caso $n=8$;
Testo nascosto:
Dividiamo il piano in triangoli equilateri di lato r, li raggruppiamo in rombi di lato 2 con 8 triangolini all'interno; coloro ciascuno di questi triangolini di un colore diverso e ripeto questo per ogni rombo.
EDIT: ecco la colorazione esagonale con 7 che avevo originariamente trovato su carta (per giustificare in qualche modo la figuraccia)
Allegati
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