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In totale il numero di parole lunghe $n$ da un alfabeto di $N$ lettere è $N^n$, mentre il numero di parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere è $k^n$. Moltiplicando questo $k^n$ per il numero di modi di scegliere quelle $k$ lettere dall'alfabeto di $N$ lettere si ottiene il numero di parole lunghe $n$ con $k$ lettere prese da quell'alfabeto, ovvero $\displaystyle k^n\cdot{N\choose k}$. La probabilità viene quindi questa brutta espressione: $\displaystyle{N \choose k} \cdot \left(\frac k N\right)^n$.

Alle $\displaystyle k^n\cdot {N\choose k}$ tolgo quelle con al massimo $k-1$ lettere, ovvero $\displaystyle \left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}$, ottenendo $\displaystyle k^n\cdot {N\choose k}-\left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}$, da dividere per quell'$N^n$ per trovare una probabilità ancora più brutta: $\displaystyle N^{-n}\cdot\left(k^n\cdot {N\choose k}-\left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}\right)$

Nel rimedio ho tolto più volte le stesse parole...

Le parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere sono $k^n$.
Quelle in cui compaiono tutte sono quelle meno quelle in cui compaiono $k-1$ o meno lettere, ovvero $k\left(k-1\right)^n$. Moltiplico questa differenza per ${N\choose k}$ e trovo il numero di parole buone, che moltiplicato per $N^{-n}$ dà la probabilità: $N^{-n}\cdot{N\choose k}\cdot \left(k^n-k\left(k-1\right)^n\right)$

Le parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere sono $k^n$.
Quelle in cui compaiono tutte sono quelle meno quelle in cui compaiono $k-1$ o meno lettere, ovvero $k\left(k-1\right)^n$. Moltiplico questa differenza per ${N\choose k}$ e trovo il numero di parole buone, che moltiplicato per $N^{-n}$ dà la probabilità: $N^{-n}\cdot{N\choose k}\cdot \left(k^n-k\left(k-1\right)^n\right)$

Ho pensato $\left(k-1\right)^n$ per ogni scelta delle $k-1$ lettere dalle $k$ iniziali, ma ripensandoci dovrei fare una sorta di inclusione-esclusione, quindi il numero di parole buone dovrebbe essere $\displaystyle \sum_{i=0}^k\left({k \choose i}\cdot\left(k-i\right)^n\cdot\left(-1\right)^i\right)$