Troviamo parole un po' distinte

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scambret
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Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da scambret » 22 set 2016, 11:29

Abbiamo $N$ lettere diverse e vogliamo costruire parole di lunghezza $n$. Trovare la probabilità che nelle parole ci siano esattamente $k$ lettere differenti (diciamo $N \geq k$ e $n \geq k$).
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Sirio
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 22 mag 2017, 15:51

Un po' di sano necroposting non si nega a nessuno...
Testo nascosto:
In totale il numero di parole lunghe $n$ da un alfabeto di $N$ lettere è $N^n$, mentre il numero di parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere è $k^n$. Moltiplicando questo $k^n$ per il numero di modi di scegliere quelle $k$ lettere dall'alfabeto di $N$ lettere si ottiene il numero di parole lunghe $n$ con $k$ lettere prese da quell'alfabeto, ovvero $\displaystyle k^n\cdot{N\choose k}$. La probabilità viene quindi questa brutta espressione: $\displaystyle{N \choose k} \cdot \left(\frac k N\right)^n$.
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RiccardoKelso
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da RiccardoKelso » 22 mag 2017, 16:18

Occhio agli avverbi :roll:
Hai paura di bagnarti?

Non si può entrare nell'angolo rotture della lidl

$N_n=(n-1)(N_{n-1}+N_{n-2}), \space N_1=0, \space N_2=1$

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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 22 mag 2017, 16:58

Sì, ho saltato "esattamente" qua e là, ma in testa ce l'avevo... No?

Edit: Hai ragione, no... Rimedio:
Testo nascosto:
Alle $\displaystyle k^n\cdot {N\choose k}$ tolgo quelle con al massimo $k-1$ lettere, ovvero $\displaystyle \left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}$, ottenendo $\displaystyle k^n\cdot {N\choose k}-\left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}$, da dividere per quell'$N^n$ per trovare una probabilità ancora più brutta: $\displaystyle N^{-n}\cdot\left(k^n\cdot {N\choose k}-\left(k-1\right)^n\cdot {N\choose {k-1}}\right)$
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scambret
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da scambret » 22 mag 2017, 19:14

Mmmh ne sei davvero convinto?
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 22 mag 2017, 20:59

Ok, ho capito dove sta l'altro errore...
Testo nascosto:
Nel rimedio ho tolto più volte le stesse parole...
Prossimamente rimedierò ulteriormente.
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scambret
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da scambret » 23 mag 2017, 00:00

Esatto
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 23 mag 2017, 13:14

Lo rifaccio da zero che faccio prima...
Testo nascosto:
Le parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere sono $k^n$.
Quelle in cui compaiono tutte sono quelle meno quelle in cui compaiono $k-1$ o meno lettere, ovvero $k\left(k-1\right)^n$. Moltiplico questa differenza per ${N\choose k}$ e trovo il numero di parole buone, che moltiplicato per $N^{-n}$ dà la probabilità: $N^{-n}\cdot{N\choose k}\cdot \left(k^n-k\left(k-1\right)^n\right)$
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 23 mag 2017, 16:12

Lo rifaccio da zero che faccio prima...
Testo nascosto:
Le parole lunghe $n$ da un alfabeto di $k$ lettere sono $k^n$.
Quelle in cui compaiono tutte sono quelle meno quelle in cui compaiono $k-1$ o meno lettere, ovvero $k\left(k-1\right)^n$. Moltiplico questa differenza per ${N\choose k}$ e trovo il numero di parole buone, che moltiplicato per $N^{-n}$ dà la probabilità: $N^{-n}\cdot{N\choose k}\cdot \left(k^n-k\left(k-1\right)^n\right)$
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da fph » 23 mag 2017, 19:26

Come mai quelle in cui compaiono $k-1$ o meno lettere sarebbero $k(k-1)^n$?
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Re: Troviamo parole un po' distinte

Messaggio da Sirio » 23 mag 2017, 20:41

Perché le ho di nuovo ripetute...
Testo nascosto:
Ho pensato $\left(k-1\right)^n$ per ogni scelta delle $k-1$ lettere dalle $k$ iniziali, ma ripensandoci dovrei fare una sorta di inclusione-esclusione, quindi il numero di parole buone dovrebbe essere $\displaystyle \sum_{i=0}^k\left({k \choose i}\cdot\left(k-i\right)^n\cdot\left(-1\right)^i\right)$
Fatemi sapere se ho sbagliato di nuovo...
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