Il ballo degli elefanti
Inviato: 15 giu 2016, 20:46
Bernardo e Federico stanno...
No, niente ambientazione olimpionica
Ci sono due elefanti sulla retta dei numeri reali che fanno un particolare ballo, con le seguenti condizioni:
1) Bisogna partire e tornare nel punto 0.
2) In ogni istante bisogna spostarsi a destra o a sinistra di uno, per un totale di $n$ passi.
3) Durante il ballo bisogna segnarsi su entrambe le gambe due numeri: all'inizio sono entrambi 0, quando si fa un passo a destra nell'istante $t$, bisogna aumentare il numero segnato sulla gamba destra del numero di passi fatti a sinistra da $0$ a $t$; simmetricamente quando si fa un passo a sinistra nell'istante $t$, bisogna aumentare il numero segnato sulla gamba sinistra del numero di passi fatti a destra da $0$ a $t$. Un ballo si può considerare tale se alla sua fine i numeri segnati sulle gambe sono uguali. (Se non lo sono, l'elefante viene fucilato).
a) Per quali $n$ è possibile fare un ballo del genere?
b) Dimostrare che i due elefanti in un certo istante (diverso da quello iniziale e finale) si trovano nello stesso punto.
Precisazione: gli elefanti segnano i numeri sulla gamba anteriore destra e posteriore sinistra.
No, niente ambientazione olimpionica
Ci sono due elefanti sulla retta dei numeri reali che fanno un particolare ballo, con le seguenti condizioni:
1) Bisogna partire e tornare nel punto 0.
2) In ogni istante bisogna spostarsi a destra o a sinistra di uno, per un totale di $n$ passi.
3) Durante il ballo bisogna segnarsi su entrambe le gambe due numeri: all'inizio sono entrambi 0, quando si fa un passo a destra nell'istante $t$, bisogna aumentare il numero segnato sulla gamba destra del numero di passi fatti a sinistra da $0$ a $t$; simmetricamente quando si fa un passo a sinistra nell'istante $t$, bisogna aumentare il numero segnato sulla gamba sinistra del numero di passi fatti a destra da $0$ a $t$. Un ballo si può considerare tale se alla sua fine i numeri segnati sulle gambe sono uguali. (Se non lo sono, l'elefante viene fucilato).
a) Per quali $n$ è possibile fare un ballo del genere?
b) Dimostrare che i due elefanti in un certo istante (diverso da quello iniziale e finale) si trovano nello stesso punto.
Precisazione: gli elefanti segnano i numeri sulla gamba anteriore destra e posteriore sinistra.