Brilliant!

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Fbuonarroti
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Brilliant!

Messaggio da Fbuonarroti » 19 apr 2016, 21:47

Diciamo che un insieme $ S $ è carino se è un sottoinsieme non vuoto dell'insieme $ \{\ 1,2,3,\ldots ,2016 \} $ e il prodotto degli elementi di $ S $ è una potenza perfetta di $ 10 $.
Qual è la cardinalità del più grande degli insiemi carini?

il filosofo

Re: Brilliant!

Messaggio da il filosofo » 19 apr 2016, 23:46

Testo nascosto:
20?

il filosofo

Re: Brilliant!

Messaggio da il filosofo » 20 apr 2016, 00:04

scherzavo
Testo nascosto:
21? :?:

Fbuonarroti
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Re: Brilliant!

Messaggio da Fbuonarroti » 20 apr 2016, 07:37

Si :D

il filosofo

Re: Brilliant!

Messaggio da il filosofo » 20 apr 2016, 07:41

Allora quando arrivo a casa pubblico la soluzione :D

il filosofo

Re: Brilliant!

Messaggio da il filosofo » 20 apr 2016, 15:24

probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente :)

AlexThirty
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Re: Brilliant!

Messaggio da AlexThirty » 20 apr 2016, 17:07

il filosofo ha scritto:probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente :)
La soluzione è giusta, solo che la dimostrazione diciamo che non è rigorosa. Tu hai semplicemente dimostrato che con 21 è possibile, ma non hai effettivamente dimostrato che è il massimo. Cioè lo hai ritenuto implicito, ma va dimostrato che ad esempio con 22 non si può
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

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