Quanti numeri mi servono?

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luca95
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Quanti numeri mi servono?

Messaggio da luca95 » 19 nov 2015, 18:22

Non sapevo se metterlo qui o in MNE, io l'ho risolto in maniera piuttosto brutale ma penso (spero) che esista anche una soluzione elementare:

Prendo un numero reale a caso compreso tra 0 e 1, poi ne prendo un'altro, lo sommo al primo e continuo così fino a che non ottengo una somma maggiore di 1. Quanti numeri mi serviranno in media?

Pigkappa
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Re: Quanti numeri mi servono?

Messaggio da Pigkappa » 25 nov 2015, 13:22

Posto la soluzione brutale...

Sia $ 0 < S <1 $. Sia $ g_n(S) $ la probabilita' che $ \sum_{k=1}^n{x_k} < S $, dove gli $ x_k $ sono numeri casuali tra 0 e 1. Allora $ g_n(S) = S^n / n! $. Lo si vede notando che e' vero per n = 1 ($ g_1 = S $) e usando l'induzione:
$ \displaystyle g_{n} (S)= \int_{S_0 = 0}^{S}{\frac{d\; g_{n-1}(S_0)}{d\; S_0} (S - S_0)} d S_0 = (...) = S^n / n! $,
dove ho usato la densità di probabilità $ \displaystyle \frac{d\; g_{n-1}(S_0)}{d\; S_0} $.
Allora la probabilita' che servano n numeri e', per n > 1:
$ \displaystyle p_n = \int_{S_0 = 0}^{1}{\frac{d\; g_{n-1}(S_0)}{d\; S_0} (1- S_0)} d S_0 = \frac{1}{n!} $
La risposta e' $ \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}{\frac{n}{n!}} = \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n!}} = e $.

Se hai una soluzione meno brutale, sono curioso di vederla! Sembra un problema abbastanza carino e semplice per cui dovrebbe esserci, ma dato che la risposta e' $ e $, sara' difficile trovare una soluzione senza un limite o una serie infinita o un integrale o una derivata o qualcosa del genere.

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