Ho 50€ e prendo parte al seguente gioco. Lancio ripetutamente una moneta; per ogni testa vinco 2€, per ogni croce perdo 1€. Qual e' la probabilita' che a un certo punto mi ritrovo con 0€ ?
[penso esista una soluzione elementare e non troppo difficile, ma io non sono ancora riuscito a farlo!]
Re: Lanci di una moneta
Inviato: 24 ott 2015, 17:10
da Lasker
La soluzione elementare esiste ed è molto carina (e lo è anche il risultato )
La mia dimostrazione (se si può definire tale) fa un po' schifo, se riesco a sistemarla la metto stasera
Re: Lanci di una moneta
Inviato: 27 ott 2015, 17:14
da Pigkappa
Si', la risposta e' giusta
Re: Lanci di una moneta
Inviato: 27 ott 2015, 20:40
da luca95
Non ho avuto il tempo di rivederla comunque l'idea è questa:
Testo nascosto:
Detta f(n) la probabilità di arrivare a 0 partendo da n si ha
$ f(n)=\frac{1}{2}f(n-1)+\frac{1}{2}f(n+2) $
ovvero $ 2f(n)=f(n-1)+f(n+2) $
che possiamo scrivere come $ f(n)-f(n-1)=(f(n+2)-f(n+1))+(f(n+1)-f(n)) $
da cui vediamo che le differenze tra due probabilità successive vanno come i fibonacci (che però invece di partire da 1 ed andare all'infinito vanno al contrario, ovvero dall'infinito vanno a 0), è molto vaga come idea ma da qui penso che formalizzando si dovrebbe riuscire a concludere che $ f(n)=k\phi^{-n}\hspace{0.3cm} $ e imponendo [math]f(0)=1\hspace{0.3cm} si trova [math]f(n)=\phi^{-n}.
Re: Lanci di una moneta
Inviato: 27 ott 2015, 23:07
da Lasker
@luca95: prova a mostrare (si tratta più di accorgersene che di dimostrarlo ) che vale
e i conti per la ricorrenza vengono davvero meglio
Re: Lanci di una moneta
Inviato: 28 ott 2015, 00:42
da luca95
Testo nascosto:
Uuh bello, in effetti così ti riconduci ad un'equazione di Cauchy che ha come soluzione (sotto opportune ipotesi che non ho intenzione di verificare ) $ p(n)=k^n $, da $ 2k^n=k^{n-1}+k^{n+2}\hspace{0.6cm} $ escludendo le radici prive di senso troviamo in effetti $ k=\frac{1}{\phi} $
)
) che vale