Lanci di una moneta

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Pigkappa
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Lanci di una moneta

Messaggio da Pigkappa » 24 ott 2015, 15:34

Ho 50€ e prendo parte al seguente gioco. Lancio ripetutamente una moneta; per ogni testa vinco 2€, per ogni croce perdo 1€. Qual e' la probabilita' che a un certo punto mi ritrovo con 0€ ?


[penso esista una soluzione elementare e non troppo difficile, ma io non sono ancora riuscito a farlo!]

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Lasker
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da Lasker » 24 ott 2015, 17:10

La soluzione elementare esiste ed è molto carina (e lo è anche il risultato :wink: )
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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luca95
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da luca95 » 27 ott 2015, 12:13

Testo nascosto:
$ \frac{1}{\phi^{50}} $? ($ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}) $
La mia dimostrazione (se si può definire tale) fa un po' schifo, se riesco a sistemarla la metto stasera

Pigkappa
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da Pigkappa » 27 ott 2015, 17:14

Si', la risposta e' giusta

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luca95
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da luca95 » 27 ott 2015, 20:40

Non ho avuto il tempo di rivederla comunque l'idea è questa:
Testo nascosto:
Detta f(n) la probabilità di arrivare a 0 partendo da n si ha
$ f(n)=\frac{1}{2}f(n-1)+\frac{1}{2}f(n+2) $
ovvero $ 2f(n)=f(n-1)+f(n+2) $
che possiamo scrivere come $ f(n)-f(n-1)=(f(n+2)-f(n+1))+(f(n+1)-f(n)) $
da cui vediamo che le differenze tra due probabilità successive vanno come i fibonacci (che però invece di partire da 1 ed andare all'infinito vanno al contrario, ovvero dall'infinito vanno a 0), è molto vaga come idea ma da qui penso che formalizzando si dovrebbe riuscire a concludere che $ f(n)=k\phi^{-n}\hspace{0.3cm} $ e imponendo [math] si trova [math].

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Lasker
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da Lasker » 27 ott 2015, 23:07

@luca95: prova a mostrare (si tratta più di accorgersene che di dimostrarlo :lol: ) che vale
Testo nascosto:
$p(a+b)=p(a)p(b)\ \ \ \forall\ a,b\in \mathbb{N}^2$

e i conti per la ricorrenza vengono davvero meglio
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Re: Lanci di una moneta

Messaggio da luca95 » 28 ott 2015, 00:42

Testo nascosto:
Uuh bello, in effetti così ti riconduci ad un'equazione di Cauchy che ha come soluzione (sotto opportune ipotesi che non ho intenzione di verificare :lol: ) $ p(n)=k^n $, da $ 2k^n=k^{n-1}+k^{n+2}\hspace{0.6cm} $ escludendo le radici prive di senso troviamo in effetti $ k=\frac{1}{\phi} $

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