Quante estrazioni mi servono?
Quante estrazioni mi servono?
Si supponga che R(n) un numero casuale tra 0 e n-1 (estremi inclusi). Continuo ad applicare R; R(R(n)) sara' un numero casuale tra 0 e R(n) - 1. Se parto da n = 2015, quante volte devo applicare R, in media, per arrivare a 0?
Re: Quante estrazioni mi servono?
Cosa intendi per "in media"?
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Quante estrazioni mi servono?
Immagina di condurre questo "esperimento" molte volte (diciamo 10^100), e dimmi la media (somma i risultati e dividi per 10^100). Ci sono anche altri modi di intendere la media, che danno tutti lo stesso risultato.
Esempio: quante volte devo lanciare una moneta per ottenere testa, in media?
Se lancio una moneta, ho probabilità 1/2 di fare testa per la prima volta al primo colpo; 1/4 al secondo; 1/8 al terzo; 1/16 al quarto; la media di lanci e'
$ 1 \times 1/2 + 2 \times 1/4 + 3 \times 1/8 + 4 \times 1/16 + ... $
(si può semplificare questa espressione e dimostrare che questa somma fa 2, ma non c'entra nulla col mio problema)
Esempio: quante volte devo lanciare una moneta per ottenere testa, in media?
Se lancio una moneta, ho probabilità 1/2 di fare testa per la prima volta al primo colpo; 1/4 al secondo; 1/8 al terzo; 1/16 al quarto; la media di lanci e'
$ 1 \times 1/2 + 2 \times 1/4 + 3 \times 1/8 + 4 \times 1/16 + ... $
(si può semplificare questa espressione e dimostrare che questa somma fa 2, ma non c'entra nulla col mio problema)
Re: Quante estrazioni mi servono?
Sarebbe già buono dire "per quali k, dopo k applicazioni, ho più del 50% di probabilità di fare 0 all'k+1esima applicazione?"
Re: Quante estrazioni mi servono?
Ok, forse ho capito cosa significa "in media", io l'ho interpretato come il numero $ j $ tale che applicando $ R $ $ j $ volte, si ha la probabilità più alta di arrivare a $ 0 $. In spoiler c'è la soluzione.
Testo nascosto:
Ultima modifica di Saro00 il 23 ott 2015, 20:27, modificato 1 volta in totale.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Quante estrazioni mi servono?
La tua interpretazione purtroppo non è equivalente alla media e il risultato é diverso (parecchio diverso)...
Re: Quante estrazioni mi servono?
Testo nascosto:
Re: Quante estrazioni mi servono?
questa è necrofilia ... e nemmeno bella e buona, ma brutta e cattiva! Btw,la tua migliore speranza per avere un parere informato sul fatto che la formula che hai dato possa essere giusta è spiegare come ci sei arrivato
Re: Quante estrazioni mi servono?
Questa è l'idea di fondo, insieme a un'ulteriore evoluzione della formula (senza però la soluzione finale )
Testo nascosto:
Re: Quante estrazioni mi servono?
Beh, se vuoi una formula chiusa per la somma degli inversi degli interi, ti consiglieri di cercare Serie Armonica o Numeri Armonici su google e poi desistere.
Re: Quante estrazioni mi servono?
Confermo che la risposta e soluzione sono uguali alle mie.
Adesso fatemi quello in matematica ricreativa che invece non mi è venuto :p
Adesso fatemi quello in matematica ricreativa che invece non mi è venuto :p
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Re: Quante estrazioni mi servono?
RiccardoKelso ha scritto:Questa è l'idea di fondo, insieme a un'ulteriore evoluzione della formula (senza però la soluzione finale )Testo nascosto:
Scusa il disturbo ma potresti spiegami come arrivi alla formula perché salti il procedimento. Ho una mezza idea su come ci sei arrivato ma non mi è chiarissimo
Graziee
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: Quante estrazioni mi servono?
Puoi farlo sia partendo da $M_1$ e salendo sia scendendo da $M_n$: noti che a denominatore si trova $n!$ mentre a numeratore trovi $n$ addendi tutti diversi con nessun fattore comune a tutti ma che possono essere ottenuti dividendo $n!$ per tutti i numeri da $1$ a $n$ (ogni addendo viene diviso per un numero diverso).
Re: Quante estrazioni mi servono?
Applichiamo $ R(n) $. Se è 0 ho vinto sennò dovrò applicare $ R(n-1) $.
La probabilità che sia $ 0 $ è ovviamente $ P_n(0)= \frac{1}{n} $, per cui la probabilità che dovrò applicare $ P(R(n-1)) = \frac {n-1}{n} $.
Ora applichiamo $ R(n-1) $: $ P_{n-1}(0)= \frac {n-1}{n} \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} $. La probabilità di dover applicare $ R(n-2) $ è $ P(R(n-2)) = \frac {n-1}{n} \frac {n-2}{n-1} =\frac {n-2}{n} $.
Capite bene che vale sempre $ P_i(0)= \frac {1}{n} $.
Ora per la definizione che hai dato di media il risultato dovrebbe essere $ M = \frac {1}{2015} + \frac {2}{2015} + ... + \frac {2014}{2015} + 1 $
$ M= \frac {1}{2015} \displaystyle \sum_{n=1}^{2015} n = 1008 $
Ma siccome hai già detto che è sbagliato, vorrei spiegassi meglio cosa significhi media in questo esercizio.
La probabilità che sia $ 0 $ è ovviamente $ P_n(0)= \frac{1}{n} $, per cui la probabilità che dovrò applicare $ P(R(n-1)) = \frac {n-1}{n} $.
Ora applichiamo $ R(n-1) $: $ P_{n-1}(0)= \frac {n-1}{n} \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} $. La probabilità di dover applicare $ R(n-2) $ è $ P(R(n-2)) = \frac {n-1}{n} \frac {n-2}{n-1} =\frac {n-2}{n} $.
Capite bene che vale sempre $ P_i(0)= \frac {1}{n} $.
Ora per la definizione che hai dato di media il risultato dovrebbe essere $ M = \frac {1}{2015} + \frac {2}{2015} + ... + \frac {2014}{2015} + 1 $
$ M= \frac {1}{2015} \displaystyle \sum_{n=1}^{2015} n = 1008 $
Ma siccome hai già detto che è sbagliato, vorrei spiegassi meglio cosa significhi media in questo esercizio.
Re: Quante estrazioni mi servono?
No; se e' 0 hai vinto, senno' devi applicare R(R(n)). E poi R(R(R(n))). E cosi' via. Penso che il fraintendimento derivasse da questo, piu' che dalla definizione di media...remat7 ha scritto:Applichiamo $ R(n) $. Se è 0 ho vinto sennò dovrò applicare $ R(n-1) $.
Se il tuo numero casuale e' 255, ora prendi un altro numero casuale tra 0 e 255. Se questo e' 101, ora ne prendi uno tra 0 e 101. E cosi' via.