Partizioni di $n$ in al più $r$ parti e in parti $\leq r$

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Federico II
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Partizioni di $n$ in al più $r$ parti e in parti $\leq r$

Messaggio da Federico II » 21 set 2015, 18:22

Siano $n,r$ due interi positivi, con $n\geq r$. Dimostrare che le partizioni di $n$ in al più $r$ parti sono tante quante le partizioni di $n$ in parti minori o uguali a $r$. Chi già conosce la soluzione è pregato di non spoilerarla agli altri.
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Re: Partizioni di $n$ in al più $r$ parti e in parti $\leq r

Messaggio da Federico II » 03 ott 2015, 14:18

Up!
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Gerald Lambeau
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Re: Partizioni di $n$ in al più $r$ parti e in parti $\leq r$

Messaggio da Gerald Lambeau » 18 mag 2017, 22:11

Mi trovo a fare necroposting :D .
Tra gli esercizi di allenamento di Torino di quest'anno troviamo un esercizio che ci fa intuire che vale qualcosa di più forte: le partizione di $n$ in esattamente $r$ parti sono tante quante le partizioni di $n$ tali che la massima tra quelle parti è esattamente $r$ (dimostrare che questa cosa implica il problema originale è un esercizio lasciato al lettore).
Dimostrazione: prendiamo una partizione in esattamente $r$ parti: $x_1+x_2+\dots+x_r=n$ con $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_r$ interi positivi. Coloriamo sul piano cartesiano i seguenti punti:
$(1, 1), (1, 2) \dots (1, x_1)$
$(2, 1), (2, 2) \dots (2, x_2)$
$\vdots$
$(r, 1), (r, 2) \dots (r, x_r)$.
Facciamo una simmetria di questi punti rispetto alla retta $x=y$ e troviamo una bella bigezione, perché otteniamo una partizione dove la massima tra le parti è esattamente $r$ e possiamo fare l'operazione inversa, il che associa le due quantità richieste in maniera, appunto, biunivoca.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

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Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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Re: Partizioni di $n$ in al più $r$ parti e in parti $\leq r$

Messaggio da Federico II » 18 mag 2017, 23:34

Ok, buona :lol:
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