numero di cinquine
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Nadal21
numero di cinquine
Determinare il numero di cinquine di interi non negativi $ (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) $ con $ x_o \neq x_1 $ tali che $ x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 9996 $
Re: numero di cinquine
$ {10000 \choose 4} $ sono le partizioni senza considerare $ x_0\neq x_1 $
Se pongo $ x_0 = x_1 $ si deduce innanzitutto che $ 0 \leq x_0=x_1 \leq 4998 $
Quindi si calcolano le partizioni per $ x_0 = x_1=0 $ che sono $ {9998\choose 2} $, per $ x_0 = x_1=1 $ che sono $ {9996 \choose 2} $.
In breve, il numero di soluzioni $ x_0 = x_1 $ sono $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} $.
Notando che $ {2n \choose 2} = {2n -1 \choose 1} + {2n -1 \choose 2} $ segue che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} =\displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n -1 \choose 1} +\displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n -1 \choose 2} $.
Da cui segue $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{9996} \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n - i \choose 1} +1 $
Non so se i calcoli siano del tutto giusti ma procedendo così riesci a calcolarli, suppongo ci sia un metodo molto più semplice per calcolare $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} $ ma per ora non mi è venuto in mente nulla, chiedo venia
Se pongo $ x_0 = x_1 $ si deduce innanzitutto che $ 0 \leq x_0=x_1 \leq 4998 $
Quindi si calcolano le partizioni per $ x_0 = x_1=0 $ che sono $ {9998\choose 2} $, per $ x_0 = x_1=1 $ che sono $ {9996 \choose 2} $.
In breve, il numero di soluzioni $ x_0 = x_1 $ sono $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} $.
Notando che $ {2n \choose 2} = {2n -1 \choose 1} + {2n -1 \choose 2} $ segue che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} =\displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n -1 \choose 1} +\displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n -1 \choose 2} $.
Da cui segue $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{9996} \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n - i \choose 1} +1 $
Non so se i calcoli siano del tutto giusti ma procedendo così riesci a calcolarli, suppongo ci sia un metodo molto più semplice per calcolare $ \displaystyle \sum_{n=1}^{4999} {2n \choose 2} $ ma per ora non mi è venuto in mente nulla, chiedo venia
Re: numero di cinquine
Per finire i conti io farei così:
\[
\sum_{n=1}^{4999}\binom{2n}{2}=\sum_{n=1}^{4999}n(2n-1)=2\sum_{n=1}^{4999}n^2-\sum_{n=1}^{4999}n
\]
da cui si finisce velocemente utilizzando la formula di Gauss e quella per le somme di quadrati.
\[
\sum_{n=1}^{4999}\binom{2n}{2}=\sum_{n=1}^{4999}n(2n-1)=2\sum_{n=1}^{4999}n^2-\sum_{n=1}^{4999}n
\]
da cui si finisce velocemente utilizzando la formula di Gauss e quella per le somme di quadrati.
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Nadal21
Re: numero di cinquine
Grazie! Al ragionamento c'ero arrivato abbastanza bene, ma mi ero perso con i conti! 