trovare quante sono le terne di numeri interi che moltiplicati tra loro danno \begin{equation}
10^{100}
\end{equation}
quante terne?
-
RiccardoKelso
Re: quante terne?
Se le terne sono ordinate (1,2,3 è considerata diversa da 2,3,1) si tratta delle combinazioni con ripetizione n=3 k=100 il tutto al quadrato, ma temo non siano ordinate..
Re: quante terne?
Ci provo ma combinatoria non è il mio forte.
Ovviamente il fattore 2 compare nei tre numeri con esponenti la cui somma dà 100 ma si vede subito che uno degli esponenti dovrà essere per forza <34 e un altro >33 quindi costruiamo la terna in questo modo:scegliamo un numero casuale <34 (anche 0) poi scegliamo quello >33 (per cui a questo punto abbiamo un numero ristretto di possibilità) ed infine il terzo numero sarà determinato. Quindi se scegliamo 0 come primo numero per il secondo ci sono 67 possibilità,se scagliamo 1 per il secondo ci sono 66 possibilità .....se scegliamo 33 ci sono 34 possibilità. Dunque il numero di terne è 67+66+...+34 che con la formula di Gauss fa 1683. Ora in questo modo abbiamo contato due volte tutte le terne di esponenti eccetto quelle con due numeri uguali infatti per esempio contiamo sia (10;60;30) che (30;60;10) ma (30;40;30) viene contata una sola volta. Quindi sottraiamo a 1683 le 51 terne con due numeri uguali e dividiamo per 2 e riaggiungiamo 51. Il tutto fa 867 che sono i casi per il 2 ma poiché per il 5 possiamo fare un ragionamento analogo il risultato finale dovrebbe quindi essere 867^2=751689
Ovviamente il fattore 2 compare nei tre numeri con esponenti la cui somma dà 100 ma si vede subito che uno degli esponenti dovrà essere per forza <34 e un altro >33 quindi costruiamo la terna in questo modo:scegliamo un numero casuale <34 (anche 0) poi scegliamo quello >33 (per cui a questo punto abbiamo un numero ristretto di possibilità) ed infine il terzo numero sarà determinato. Quindi se scegliamo 0 come primo numero per il secondo ci sono 67 possibilità,se scagliamo 1 per il secondo ci sono 66 possibilità .....se scegliamo 33 ci sono 34 possibilità. Dunque il numero di terne è 67+66+...+34 che con la formula di Gauss fa 1683. Ora in questo modo abbiamo contato due volte tutte le terne di esponenti eccetto quelle con due numeri uguali infatti per esempio contiamo sia (10;60;30) che (30;60;10) ma (30;40;30) viene contata una sola volta. Quindi sottraiamo a 1683 le 51 terne con due numeri uguali e dividiamo per 2 e riaggiungiamo 51. Il tutto fa 867 che sono i casi per il 2 ma poiché per il 5 possiamo fare un ragionamento analogo il risultato finale dovrebbe quindi essere 867^2=751689
Re: quante terne?
penso che per unire le due terne (quelle dei 2 e dei 5) non sia sufficiente moltiplicare.
per ogni terna di 2 sospetto che ci siano più di 867 casi, potrebbero essercene 6*867.
prendiamo per esempio le terne
$ 2^{37} \times2^{40} \times2^{23} $
$ 5^{38} \times5^{45} \times5^{17} $
queste si possono abbinare in 6 modi diversi:
$ (2^{37} \times5^{38}) \times(2^{40} \times5^{45}) \times(2^{23} \times5^{17}) $
$ (2^{37} \times5^{38}) \times(2^{40} \times5^{17}) \times(2^{23} \times5^{45}) $
$ (2^{37} \times5^{45}) \times(2^{40} \times5^{38}) \times(2^{23} \times5^{17}) $
$ (2^{37} \times5^{45}) \times(2^{40} \times5^{17}) \times(2^{23} \times5^{38}) $
$ (2^{37} \times5^{17}) \times(2^{40} \times5^{38}) \times(2^{23} \times5^{45}) $
$ (2^{37} \times5^{17}) \times(2^{40} \times5^{45}) \times(2^{23} \times5^{38}) $
per ogni terna di 2 sospetto che ci siano più di 867 casi, potrebbero essercene 6*867.
prendiamo per esempio le terne
$ 2^{37} \times2^{40} \times2^{23} $
$ 5^{38} \times5^{45} \times5^{17} $
queste si possono abbinare in 6 modi diversi:
$ (2^{37} \times5^{38}) \times(2^{40} \times5^{45}) \times(2^{23} \times5^{17}) $
$ (2^{37} \times5^{38}) \times(2^{40} \times5^{17}) \times(2^{23} \times5^{45}) $
$ (2^{37} \times5^{45}) \times(2^{40} \times5^{38}) \times(2^{23} \times5^{17}) $
$ (2^{37} \times5^{45}) \times(2^{40} \times5^{17}) \times(2^{23} \times5^{38}) $
$ (2^{37} \times5^{17}) \times(2^{40} \times5^{38}) \times(2^{23} \times5^{45}) $
$ (2^{37} \times5^{17}) \times(2^{40} \times5^{45}) \times(2^{23} \times5^{38}) $
Re: quante terne?
Si hai ragione ma bisognerebbe di nuovo distinguere i casi in cui ci sono esponenti uguali infatti (riporto solo gli esponenti per comodità) se dobbiamo considerare le combinazioni di (10;10;80) e (20;20;60) si possono avere 2 casi
(10;20) (10;20) (80;60)
(10;60) (10;20) (80;20)
mentre per (10;10;80) e (20;30;50) sono 3
(10;20) (10;30) (80;50)
(10;20) (10;50) (80;30)
(10;30) (10;50) (80;20)
Quindi considerando che per ogni esponente sono 816 terne di numeri tutti diversi e 51 con una coppia di numeri uguali il conto dovrebbe essere
6*816^2 +2(3*816*51)+2*51^2=4250034 (la probabilità di conti sbagliati è altissima e fatto così è brutto proprio
)
(10;20) (10;20) (80;60)
(10;60) (10;20) (80;20)
mentre per (10;10;80) e (20;30;50) sono 3
(10;20) (10;30) (80;50)
(10;20) (10;50) (80;30)
(10;30) (10;50) (80;20)
Quindi considerando che per ogni esponente sono 816 terne di numeri tutti diversi e 51 con una coppia di numeri uguali il conto dovrebbe essere
6*816^2 +2(3*816*51)+2*51^2=4250034 (la probabilità di conti sbagliati è altissima e fatto così è brutto proprio
)