OliForum Matematico

Mancano 2 settimane esatte agli scritti... Molta tensione e molto allenamento last minute dopo una buona estate passata a fare un begol. Questo magari molti l'han visto di recente... Tra i tanti problemi (soprattutto rispetto a quelli di fisica) questo mi è sembrato uno dei più carini!

Sia assegnato su un piano un numero $ n $ arbitrario di triangoli con la proprietà che tre qualsiasi di essi abbiano almeno un punto in comune. Si dimostri che tutti i triangoli assegnati contengono uno stesso punto.

Qualcuno sul record di durata di un post della staffetta ha scritto: Credo che quattordici mesi sia un record parecchio duro da battere

Temo che molti stiano tentando di batterlo...

Intanto, sperando che la frase sopra venga confutata, lascio un suggerimento

Hahaha

Aiutino simile parte 2: Aiutino simile parte 3:

Non capisco, il discorso di "separabili".

PS. E' fattibile con una induzione?

Inteso come tracciare una retta che divide il piano in due semipiani tali che i due enti nominati sono comtenuti in semipiani distinti.

Si credo che l'induzione sia una buona idea

Però io mi chiedevo... Se io considero un tetraedro, allora questo rispetta le ipotesi ma non la tesi, quindi, siccome deve essere su un piano, se considero la proiezione di un tetraedro su un piano ecco che mi salta tutto.. dove sbaglio?

@erFuricksen ....Non dico che a volte non sia utile salire di dimensione ma sinceramente non vedo come qui sia utilizzabile..
forse non perdi la convessità ma non penso si possa poi generalizzare a dei convessi generici per i quali il teorema vale ancora (come suggerito da Nemo )
Proiettare un tetraedro (da che punto? su che piano? un tetraedro è certamente convesso..ma chi mi assicura che la proiezione lo sia ancora?
Quali teoremi invocare??)

@simone256...non so se separabilità si possa usare per un'eventuale dimostrazione per assurdo..sicuramente si usa per generalizzazione a dimensioni superiori..
ma vi sono teoremi previ forse non proprio immediati...

Super Hint:

Quello che intendevo io è una figura piana di questo tipo
https://encrypted-tbn2.gstatic.com/imag ... DS9areBbBg

effettivamente contiene 4 triangoli per i quali vale l'ipotesi ma non la tesi... in pratica ogni terna di triangoli ha un solo punto in comune variando fra tutti e 4 i punti, quindi non ce ne sarà uno contenuto da tutti e 4 i triangoli.

..un momento..in base al tuo ragionamento allora si avrebbe che "triangolo"="triangolo escluso un punto".
Le due definizioni di "triangolo" NON sono equivalenti.
Con riferimento al disegno che hai postato sembra che per alcuni triangoli consideri tutti i punti ma per altri,
e.g.per il più esterno che contiene gli altri tre, consideri tutti i punti tranne uno.

Mi sembra che l'interpretazione giusta da dare al testo sia che un triangolo è un insieme di punti che contiene anche il suo perimetro / bordo. In questo caso mi sembra che funzioni tutto.

Nemo ha scritto:

Qualcuno sul record di durata di un post della staffetta ha scritto: Credo che quattordici mesi sia un record parecchio duro da battere

Temo che molti stiano tentando di batterlo...

Momento di commozione... sono stato citato!