Sacchetto di biglie

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karotto
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Sacchetto di biglie

Messaggio da karotto » 31 lug 2015, 14:12

In un sacchetto ci sono tre biglie, che possono casualmente essere bianche o nere. Pesco una
biglia a caso, è bianca. La rimetto a posto. Qual è la probabilità che nel sacchetto ci siano tre
biglie bianche?

Edoardo97
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Edoardo97 » 15 ago 2015, 20:37

1/7 ?

Enigmatico
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 15 ago 2015, 21:26

Non dovrebbe essere 1/3?
Testo nascosto:
Sfruttiamo la definizione classica della probabilità:
sia E:"le palline sono tutte bianche"
$p(E)=\frac{f(casi favorevoli)}{n(casi possibili)}$.
Si ha che i casi possibili sono solo tre: BBB, BBN e BNN. Pertanto, $p(E)=\frac{1}{3}$

mr96
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da mr96 » 15 ago 2015, 22:31

Bayes? :D

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gpzes
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 16 ago 2015, 00:37

Testo nascosto:
..:oops: ..1/7..la cardinalità dello spazio degli eventi è $2^3$ ma diminuisce con informazione dell'estrazione casuale..

Enigmatico
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 16 ago 2015, 00:51

Che roba è Bayes? :oops: :?:

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gpzes
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 16 ago 2015, 01:07

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bayes :wink: ..
Si può usare per questo problema ma penso che basti numerare le palline da 1 a 3; ogni pallina ha due possibilità...bianca o nera.
Ma allora nel sacchetto sono possibili solo $2^3$ scenari....

Rho33
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Rho33 » 16 ago 2015, 06:56

@ Enigmatico: rileggendo il testo è importante notare che la pallina viene rimessa nel sacchetto, da cui otteniamo la preziosa informazione che almeno una pallina è bianca. Essendo le possibilità 8, l'unica ad essere esclusa è ovviamente NNN, da cui segue che la probabilità che esca BBB é $ \displaystyle \frac {1}{7} $

fph
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 16 ago 2015, 10:24

Facciamo un po' di chiarezza...

Quando si definisce la probabilità come casi favorevoli / casi possibili, l'ipotesi (spesso non detta) è che stiamo parlando di casi equiprobabili, cioè che hanno la stessa probabilità di uscire. L'altra cosa spesso sottintesa quando si danno problemi di questo tipo senza formalizzare eccessivamente è che le varie scelte da fare sono davvero equiprobabili e indipendenti. Quindi quando leggo ci sono tre palline, ognuna bianca oppure nera, mentalmente lo devo interpretare come per tre volte, tiro una moneta; se viene testa metto una pallina bianca nel sacchetto, se no una nera. In base a questo metodo, i casi {B,B,N} e {B,B,B} non sono equiprobabili, perché il primo può essere generato da tre diverse sequenze ordinate. Analogamente, pesco una pallina bianca e pesco una pallina nera non sono equiprobabili, perché anche qui l'assunzione nascosta è che sto prendendo ognuna delle palline presenti nel sacchetto, indipendentemente e con probabilità 1/3.

Quindi quali sono i casi elementari equiprobabili in questo caso? Il modo più semplice di sceglierli è questo:
(pallina 1 = B, pallina 2 = B, pallina 3 = B, pescata = 1)
(pallina 1 = B, pallina 2 = B, pallina 3 = B, pescata = 2)
(pallina 1 = B, pallina 2 = B, pallina 3 = B, pescata = 3)
(pallina 1 = B, pallina 2 = B, pallina 3 = N, pescata = 1)
.
.
.
(pallina 1 = N, pallina 2 = N, pallina 3 = N, pescata = 3),

Questo è lo spazio di probabilità su cui stiamo lavorando, formato da 24 elementi distinti ognuno con probabilità 1/24. per un totale di 24 elementi. In pratica stiamo combinando usando la "product rule" tutte le scelte indipendenti ed equiprobabili che potevamo fare. Gli spazi di probabilità si costruiscono quasi sempre così, come "spazi prodotto" di diverse scelte. Individuare questo insieme è la prima cosa da fare in un problema di probabilità; se non lo facciamo, stiamo parlando del nulla.

Ora, a questo punto, chi sono i casi favorevoli e i casi possibili della formula? Ci viene detto in più che la palla pescata è bianca. Questo elimina alcuni di questi casi. Quanti? Un modo di vederlo sicuramente è contarli, che è quello che vi consiglio all'inizio per prendere la mano con questi problemi. Finché sono 24 casi, è tutto facile. Quando saranno $2^{24}$, ci dovremo ingegnare per trovare metodi più furbi. In questo caso, un metodo più furbo è questo: accoppiamo gli eventi elementari dello spazio di probabilità a due a due: associamo ad ogni caso quello ottenuto scambiando tutti i colori. Quindi per esempio stiamo accoppiando (B,B,B,1) <-> (N,N,N,1), e (B,N,N,2) <-> (N,B,B,2). In questo modo abbiamo diviso lo spazio di probabilità in tanti sottoinsiemi di due elementi (verificare, prego, in particolare verificare che non c'è nessun elemento "accoppiato a sé stesso", che è la cosa #1 che può andare storta in questi casi). In ognuno di questi insiemi esattamente un elemento soddisfa la proprietà richiesta (verificare, prego). Quindi i casi in cui la pallina pescata è bianca sono esattamente la metà, cioè 12. Questo è un ragionamento che si può fare con 24 casi ma anche con $2^{24}$, e che quindi va imparato.

[Piccola osservazione... Il ragionamento del paragrafo qui sopra magari quando leggete una soluzione viene indicato come "per simmetria". Anche qui, come in tutte le dimostrazioni, uno scrive "per simmetria" con l'idea che "questo passaggio è semplice, quindi lo sappiamo fare tutti, vero?" e non formalizza oltre. Non è diverso da quando si scrive "per induzione", o "per angle-chasing", o "e così via". Ci si ferma lì come formalizzazione, con l'idea che i passaggi in mezzo siano facili da completare. Però se non avete mai visto questo tipo di ragionamento, è importante vederlo almeno una volta, e sapere che "per simmetria" si può scrivere solo quando tutto questo ragionamento qui sopra funziona. Se no, è parlare a caso. :) ]

I casi favorevoli sono quelli in cui si verifica l'evento di cui vogliamo calcolare la probabilità, cioè "le 3 palline sono tutte bianche". Quanti sono? Questo è più semplice, sono i primi tre nella nostra lista. Quindi la probabilità è 3/12 = 1/4.

Esercizio 1: cosa succede se le palline al posto di essere 3 sono 2015? E se i colori invece di essere 2 sono 37? Rifare il ragionamento in questi casi. Usare numeri piccoli vi aiuta inizialmente perché i casi si possono contare a mano, ma alzarli vi forza a fare i conteggi richiesti in modo furbo.

Esercizio 2: convincersi che questa è una dimostrazione valida: riparametrizziamo l'insieme degli eventi elementari in questo modo: abbiamo tre palline, chiamiamo pallina X quella che peschiamo, pallina Y e pallina Z le altre due. La pallina X è bianca per ipotesi. Le palline Y e Z possono avere un colore qualunque; ognuna di esse è bianca con probabilità 1/2, quindi la probabilità totale è 1/4. Dimostrazioni di questo tipo sono un altro campo minato. In questo caso funziona, è perfettamente valida, e probabilmente qualcuno vi potrebbe scrivere questa soluzione per fare scena. In realtà ci sono tanti ragionamenti simili, accattivanti, ma pesantemente sbagliati. Per esempio includerei in questa categoria alcuni dei ragionamenti che avete fatto qui sopra. L'unico modo di capire davvero cosa funziona e cosa no è riportarsi agli eventi elementari e capire se è un modo valido di riparametrizzarli. Magari riconducendosi per analogia a un caso più semplice in cui si può contare tutto a mano.

Questo concetto degli "eventi elementari" spesso è sottinteso nelle soluzioni, ma finché uno non ce l'ha chiaro in testa non ha capito davvero la probabilità.
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 16 ago 2015, 15:12

Grazie infinite fph per la spiegazione, è stata utilissima! Ora, domanda: il problema con i numeri accresciuti vuole sapere se nel sacchetto ci sono esattamente 3 palline bianche, almeno 3 palline bianche, tutte palline bianche?

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 17:08

fph, non ho capito( :oops: )perché "pesco una pallina bianca" non è equiprobabile rispetto a "pesco una pallina nera". Se pesco tre palline, per ogni pescata in cui c'è una pallina bianca, esiste la sua "simmetrica" in cui c'è una pallina nera e quindi dovrebbero essere equiprobabili .
Poi non ho capito( :lol: )perchè distingui 'pescata1', 'pescata2', 'pescata3' quando le palline sono tutte bianche o tutte nere e quindi l'ordine non conta.

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 16 ago 2015, 17:08

Tutte palline bianche è quello che avevo in mente (più facile). Gli altri dovrebbero essere fattibili ma un pochino più difficili.
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 16 ago 2015, 17:16

Ratman98 ha scritto:fph, non ho capito( :oops: )perché "pesco una pallina bianca" non è equiprobabile rispetto a "pesco una pallina nera".
.
Gli eventi "pesco una pallina bianca" e "pesco una pallina nera", senza altre condizioni, sono equiprobabili, corrispondono ognuno a 12 casi dei 24 elementari. L'argomentazione in cui accoppio le palline dimostra proprio questo. Quelle che non sono uguali sono le probabilità ristrette a sottocasi specifici. Per esempio, P[pesco una bianca, sapendo che le palline sono {B,B,N}] non è uguale a P[pesco una nera, sapendo che le palline sono {B,B,N}] (provate a contare i casi e vedere quanto vengono).
Se pesco tre palline, per ogni pescata in cui c'è una pallina bianca, esiste la sua "simmetrica" in cui c'è una pallina nera e quindi dovrebbero essere equiprobabili .Poi non ho capito( :lol: )perchè distingui 'pescata1', 'pescata2', 'pescata3' quando le palline sono tutte bianche o tutte nere e quindi l'ordine non conta.
Con "pescata=2" intendo che la pallina pescata è la pallina n.2 (fissata una numerazione universale delle palline). Non intendo che ne pesco tre una dopo l'altra.
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Ratman98 » 16 ago 2015, 17:29

Capito, grazie :D .

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 16 ago 2015, 20:19

:oops: :oops: c'è qualcosa che non mi torna :( ...
ma se lancio una moneta tre volte, la probabilità di ottenere tre teste non è 1/8?!?
...e la probabilità di ottenere almeno una testa non è 7/8?!?

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