Sacchetto di biglie

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
fph
Site Admin
Messaggi: 3500
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 19 ago 2015, 19:47

Secondo me va benissimo "supponiamo le palline numerate da 1 a 3; ogni possibile situazione è descritta fornendo il colore di ognuna delle tre palline (B o N) e il numero della pallina pescata (da 1 a 3); consideriamo queste scelte come indipendenti e fatte ognuna con probabilità uniforme; quindi il nostro spazio di probabilità è $\{B,N\}\times\{B,N\}\times\{B,N\}\times\{1,2,3\}$, composto da 24 eventi elementari equiprobabili". In un certo senso sarebbe compito del testo del problema specificarci esattamente quale è lo spazio di probabilità e cosa è equiprobabile e indipendente. In questi problemi con una parte di "matematizzazione" spesso questo viene lasciato al lettore, quindi non è un punto su cui possiamo davvero scrivere una dimostrazione; è solo una trasformazione del problema in linguaggio matematico. In un certo senso è un'ipotesi non detta che sia tutto fatto così.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
gpzes
Messaggi: 173
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 20 ago 2015, 07:50

Facendo seguito al mio post precedente, utilizzando la stessa notazione nonché gli stessi parallelismi, spero di fare cosa gradita nel generalizzare il problema, generalizzabile come già anticipato da fph, e come nemesi per i miei errori.

Siano date n palline e m colori.
Numeriamo le palline da 1 a n ( solo per impostare il problema).
Consideriamo tutte le n-ple formate dai simboli utilizzati per indicare i diversi colori possibili delle palline. Simboli diversi, colori diversi.
Ogni sequenza di colori delle n palline nel sacchetto, è descrivibile mediante una n-pla: basta estrarle una dopo l’altra senza rimpiazzo (si suppone che il sistema non venga alterato tra una estrazione e la successiva). E viceversa, ad ogni n-pla possiamo associare una sequenza iniziale di colori che costituirà il contenuto del sacchetto.
Ma allora lo spazio campione (cioè tutti i possibili scenari e/o macchinari) ha cardinalità ${{m}^{n}}$, ossia la cardinalità del prodotto cartesiano $\Omega =\underbrace{m\times m\times ...\times m}_{n\ volte}$ .

Inoltre, tutte le n-ple sono equiprobabili.
Indichiamo con ${{S}_{i}}$ le n-ple e sia l’evento ${{A}_{j}}$= “ esce una pallina del colore j-esimo”.
Si badi bene che ${{A}_{j}}$ è un evento descrivibile da un opportuno sottoinsieme di $\Omega $, e le ${{S}_{i}}$ n-ple $1\le i\le {{m}^{n}}$
costituiscono una partizione di $\Omega $. Poniamo, ma solo per semplicità, ${{S}_{1}}=\underbrace{\left( j,j,j,j,...,j \right)}_{n\ volte\ colore\ j}$.

Si tratta di calcolare $P({{S}_{1}}|{{A}_{j}})=\frac{P({{A}_{j}}|{{S}_{1}})\cdot P({{S}_{1}})}{P({{A}_{j}})}$ (*), dove $P({{A}_{j}})=\sum\limits_{i=1}^{{{m}^{n}}}{P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})\cdot P({{S}_{i}})}$ (**)

Poiché tutti le ${{S}_{i}}$ n-ple sono equiprobabili avremo che $P({{S}_{i}})=\frac{1}{{{m}^{n}}},\forall i=1...{{m}^{n}}$, e i fattori $P({{S}_{i}})$di (**) sono semplificabili in (*) con il numeratore.

Inoltre, $P({{A}_{j}}|{{S}_{1}})=1$, quindi $P({{S}_{1}}|{{A}_{j}})=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{{{m}^{n}}}{P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})}}$ (***).
Calcoliamo $\sum\limits_{i=1}^{{{m}^{n}}}{P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})}$. (****)

Se la n-pla ${{S}_{i}}$ contiene r occorrenze del simbolo del colore j , r fissato e $1\le r\le n$, allora $P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})=\frac{r}{n}$, mentre nei casi in

cui NON ci sono occorrenze di j sarà $P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})=0$.

Ma quante sono le ${{S}_{i}}$ che hanno $r\ne 0$ occorrenze del simbolo j ??

Esse saranno nel numero di $\left( \begin{matrix}
n \\
r \\
\end{matrix} \right)\cdot {{\left( m-1 \right)}^{n-r}}$: infatti il fattore $\left( \begin{matrix}
n \\
r \\
\end{matrix} \right)$ conta in quanti modi le j possono occupare le r posizioni in una n-pla,

mentre il fattore ${{\left( m-1 \right)}^{n-r}}$ conta le scelte possibili tra i colori diversi dal j-esimo nei n-r posti della n-pla NON occupati dalle j.

Quindi

$\sum\limits_{i=1}^{{{m}^{n}}}{P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})}=\sum\limits_{1\le r\le n}{\frac{r}{n}\cdot \left( \begin{matrix}
n \\
r \\
\end{matrix} \right)\cdot {{(m-1)}^{n-r}}}=\sum\limits_{1\le r\le n}{\left( \begin{matrix}
n-1 \\
n-r \\
\end{matrix} \right)\cdot {{(m-1)}^{n-r}}}$

Posto $n-r=\alpha $, si ha $\sum\limits_{1\le r\le n}{\left( \begin{matrix}
n-1 \\
n-r \\
\end{matrix} \right)\cdot {{(m-1)}^{n-r}}}=\sum\limits_{\alpha =0}^{n-1}{\left( \begin{matrix}
n-1 \\
\alpha \\
\end{matrix} \right)\cdot {{(m-1)}^{\alpha }}}={{(m-1+1)}^{n-1}}={{m}^{n-1}}$
e, in definitiva,

$P({{S}_{1}}|{{A}_{j}})=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{{{m}^{n}}}{P({{A}_{j}}|{{S}_{i}})}}=\frac{1}{{{m}^{n-1}}}$. □

CONTROEDIT: dopo osservazioni e consigli di fhp :wink:
Ultima modifica di gpzes il 21 ago 2015, 05:07, modificato 2 volte in totale.

fph
Site Admin
Messaggi: 3500
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 20 ago 2015, 09:45

Grazie! È utile avere un po' di dimostrazioni, così questo thread può diventare una buona introduzione a questo tipo di problemi. Se non ti offendi faccio qualche osservazione costruttiva anche alla tua dimostrazione:
* Definisci $A_j$, ma poi usi $A$. Solo distrazione, immagino.
* Purtroppo non si capisce molto la definizione degli $S_i$. Se ho ben capito, $S_i$ indica l'evento "escono $i-1$ palline del colore $j$, vero? Se è così, ti consiglio di aggiustare gli indici in modo da non avere quel -1. Piccolo trucco: meno $-1$ in giro hai e meno errori rischi. È lo stesso motivo per cui i coefficienti dei polinomi si indicano come $\sum_{i=0}^d a_ix^i$ invece che altre cose buffe.
* Hai ancora qualche problema nelle formule, se non mi sto confondendo io: le tue probabilità dovrebbero essere tutte comprese tra 0 e 1 e $\sum_i P(A|S_i)$ dovrebbe essere minore di 1. Come fa a fare $m^{n-1}$?
* Dovresti forse spendere qualche parola di più su come calcoli $P(A|S_i)$, che è il punto cruciale della dimostrazione.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
gpzes
Messaggi: 173
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 20 ago 2015, 20:26

Grazie fhp :) !! sto modificando il tutto grazie alle tue giuste osservazioni :wink:
non ho avuto tempo e volevo almeno rispondere per presa visione :wink:

Scusatemi per la lentezza :oops: :oops: ..ho cambiato un po' di cose a parte correggere dei typo :wink:
Ultima modifica di gpzes il 20 ago 2015, 21:47, modificato 1 volta in totale.

Enigmatico
Messaggi: 79
Iscritto il: 03 dic 2014, 23:23

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 20 ago 2015, 20:53

gzeps, oltre alle cose scritte da fph (che no avevo capito e stavo per chiedertele per mp...) chi è k?

Avatar utente
Nemo
Messaggi: 73
Iscritto il: 03 dic 2013, 17:35

Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Nemo » 21 ago 2015, 10:34

Scandamus excelsius! Ora non dovrebbe essere difficile risolvere questa generalizzazione. :mrgreen:
\(\quad\)Un sacchetto contiene \(n\) biglie, ognuna colorata casualmente con uno di \(c\) colori, che chiamiamo \(col_1, col_2, \dots , col_c\). Dal sacchetto vengono pescate \(p \le n\) biglie e si osserva che tra queste ci sono esattamente \(p_1\) biglie \(col_1\), \(p_2\) \(col_2\), ... , \(p_c\) \(col_c\). Le biglie estratte vengono messe di nuovo nel sacchetto. Qual è la probabilità (sapendo quanto detto prima) che il sacchetto contenga esattamente \(n_1\) biglie \(col_1\), \(n_2\) \(col_2\), ... , \(n_c\) \(col_c\)?

Ovviamente, tutti i colori hanno la stessa probabilità di essere su una biglia nel sacchetto e, ogni volta che si deve pescare una biglia, quelle ancora presenti nel sacchetto hanno la stessa probabilità di essere estratte. Sempre ovviamente, \(\sum_{i=1}^c p_i =p\) e \(\sum_{i=1}^c n_i =n\).

Va bene qui o devo aprire un nuovo topic? :?
[math]

Rispondi