Sacchetto di biglie

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fph
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 16 ago 2015, 21:53

Tutte e tre queste affermazioni sono vere :mrgreen:

Se immagino bene quello che hai in testa, il problema è che "la probabilità di ottenere almeno una testa" non misura quello che succede in questo problema. Per poterti dire con più precisione cosa non funziona, però, dovresti esplicitare meglio il tuo ragionamento.
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Edoardo97
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Edoardo97 » 16 ago 2015, 22:30

gpzes ha scritto::oops: :oops: c'è qualcosa che non mi torna :( ...
ma se lancio una moneta tre volte, la probabilità di ottenere tre teste non è 1/8?!?
...e la probabilità di ottenere almeno una testa non è 7/8?!?
sì e quindi?

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gpzes
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 17 ago 2015, 06:40

@fph :oops: :oops: ...ehh niente..hai ragione..credevo di poter usare formula $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{B}=\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{7}=\frac{1}{7}$ però no.. :(

in effetti NON si tratta di ottenere "probabilità che esca almeno una testa". Posso solo ringraziarTi per "..fare chiarezza.." :wink:..

Rimango, tuttavia, dubbioso :( ...usare il modello della moneta per scegliere la configurazione di partenza per le biglie è sicuramente valido e istruttivo ma mi
sembrava solo una una formulazione equivalente per stabilire la cardinalità iniziale dello spazio degli eventi..e la questione della equiprobabilità è fondamentale!!

Direi che si può ragionevolmente assumere una probabilità uniforme per $2^3$ scenari iniziali possibili...
onestamente devo rileggere e capire meglio il passaggio ai 24 casi :oops:

Sicuramente sbaglio..ma temo che anche se si passa a 24 casi rimarrebbe una specie d' "indeterminazione".
Si effettua un'unica estrazione che ha probabilità variabile a seconda dello scenario iniziale: se BBB allora ho probabilità 1..se BBN ho probabilità 2/3..se BNN
ho probabilità 1/3..non saprei.. :oops:
Oltretutto ho trovato questo..https://en.wikipedia.org/wiki/Urn_problem...
:?: :?: mahhh

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 17 ago 2015, 09:11

Hai ragione; la moneta non serve a nulla, è solo un modo di spiegare le cose per dire che ho 2^3 scenari equiprobabili.

Passare da 8 a 24 casi serve proprio per modellizzare "estraiamo una pallina a caso". Supponi di avere, invece di tre palline, una palla, un cubo e un tetraedro. Allora hai 8 possibilità per i tre colori, e tre possibilità per l'estrazione (estraggo la palla, estraggo il cubo, estraggo il tetraedro). Qui la situazione è identica, solo che distinguiamo noi i tre oggetti artificialmente.
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 17 ago 2015, 19:42

:oops: ..riassumendo....1/7 NON va bene perché l'informazione sulla pallina estratta NON l'abbiamo "a priori"..( se l'avessimo saputo allora SI).
NON può essere neanche 1/4 perchè nessuno ha detto che la pallina estratta sia la prima: le palline NON sono ordinate!

Alla luce di quanto riportato in questo linkhttp://www.math.uah.edu/stat/urn/Polya.html..Pòlya Urn Problem..
verrebbe da dire che la probabilità debba essere tanto quanto quella fornitaci dall'unica estrazione fatta..ossia 1/3..(sempre che abbia capito qualcosa :oops: )

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da karotto » 17 ago 2015, 22:57

Io usando Bayes mi trovo 1/3

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 18 ago 2015, 10:08

Ragazzi mi state confondendo... La soluzione di fph non era corretta? Se poi salta fuori che avevo ragione io vi picchio... Comunque, secondo il metodo fph la soluzione a questi problemi dati $a$ palline e $k$ colori è generalizzabile in $\frac{1}{k^{a-1}}$ o sbaglio? Così mi viene il problema con $a=2015$ e $k=37$: $\frac{1}{37^{2014}}$

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 18 ago 2015, 10:52

Resto convinto che la mia soluzione sia quella corretta. Anche applicando Bayes mi viene 1/4: P(pesco bianca | tre bianche)=1, P(pesco bianca)=1/2, P(tre bianche) = 1/8.
Semplicemente mi sta passando la voglia di mettermi a confutare ragionamenti che sono (non-)scritti in mezza riga, cercando di capire cosa intendono con i passaggi che mancano. :(

E anche la tua soluzione del problema generalizzato è corretta.
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Nemo » 18 ago 2015, 11:41

Il risultato dell'esperimento con Monte Carlo è ragionevolmente vicino a \(\frac{1}{4}\).
So che non è un metodo molto matematico, ma credo che sia abbastanza convincente, anche per i più scettici... :P
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Edoardo97 » 18 ago 2015, 12:47

Nemo ha scritto:Il risultato dell'esperimento con Monte Carlo è ragionevolmente vicino a \(\frac{1}{4}\).
cos'è l'esperimento con Monte Carlo?

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Nemo » 18 ago 2015, 16:31

@Edoardo97
Non mi sono espresso bene: per esperimento intendo quello descritto all'inizio del thread ("In un sacchetto ci sono ..."). Poi, per la legge dei grandi numeri hai che, se si ripete \(n \to \infty \) volte l'esperimento, la percentuale di successi converge alla probabilità del successo dell'esperimento. Il metodo Monte Carlo è una tecnica poco elegante per trovare soluzioni numeriche a problemi che non si sa risolvere altrimenti...

Comunque, non voglio proporre un'altra via risolutiva (infatti non lo è proprio), ma spostare i dubbi da "Qual è la soluzione?" a "Perché il mio ragionamento è sbagliato?"... :mrgreen:
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da gpzes » 18 ago 2015, 17:40

:oops: :oops: :oops:
Mi scuso con fph!! Ha i doppiamente ragione!! Primo: Mi sono convinto anch’io che la soluzione sia 1/4.
Secondo: bisogna cercare di scrivere delle soluzioni, giuste o sbagliate che siano, in maniera completa.
(ed io stesso sono già stato inadempiente! :oops: :( )

Dopo aver numerato le palline da 1 a 3 calcoliamo la cardinalità dello spazio campione o scenari possibili:${{2}^{3}}$.
Tali scenari, li indicherò con ${{S}_{i}},i=1...8$, sono tutti equiprobabili per cui è lecito assegnare loro probabilità 1/8.
${{S}_{1}}=bbb,{{S}_{2}}=bbn,{{S}_{3}}=bnb,{{S}_{4}}=nbb,{{S}_{5}}=bnn,{{S}_{6}}=nbn,{{S}_{7}}=nnb,{{S}_{8}}=nnn$, dove b e n indicano i colori possibili.
Sia, invece, evento A=”esce una pallina bianca”.
In maniera più didattica si potrebbe pensare agli scenari ${{S}_{i}},i=1...8$ come a dei macchinari che producono pezzi difettosi (palline bianche) o no.
Il problema si tradurrebbe nel calcolare la probabilità condizionata $P({{S}_{1}}|A)$.
Ossia calcolare la probabilità che, uscita una pallina bianca (difettosa), essa provenga dal macchinario ${{S}_{1}}=bbb$.
La Formula di Bayes ci dice che $P({{S}_{1}}|A)=\frac{P(A|{{S}_{1}})\cdot P({{S}_{1}})}{P(A)}$.
In tale formula sappiamo che $P(A|{{S}_{1}})=1$, perché dal macchinario ${{S}_{1}}$ escono certamente palline bianche.
Inoltre$P({{S}_{1}})=1/8$, per quanto ipotizzato sulla equiprobabilità degli scenari.
Dobbiamo calcolare $P(A)$.
Usiamo la Formula della Probabilità Totale: $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{8}{P(A|{{S}_{i}})\cdot P({{S}_{i}})}$.
Otteniamo $P(A)=\frac{1}{8}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}+0\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
Quindi $P({{S}_{1}}|A)=\frac{P(A|{{S}_{1}})\cdot P({{S}_{1}})}{P(A)}=\frac{1\cdot \frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$.

Spero sia corretta, scusandomi con tutti per aver esteso la mia confusione :oops: :( :oops:

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 18 ago 2015, 18:54

Ok, scrivo, ora, la soluzione al problema generalizzato seguendo il metodo fph...
Sia dato un sacchetto contenente $a$ palline di cui ciascuna può essere casualmente di un colore tra $k$. Si determini lo spazio di probabilità composto da $k^{a} \cdot a$ elementi e li si divida in classi di $k$ elementi con il seguente criterio: siano $b_{1}, b_{2}, ..., b_{k}$ i diversi colori per ogni sequenza ordinata appartenente alla classe si aggiunga quella con i pedici aumentati di un'unità in cui venga scelta la medesima pallina fino a che non si debba aggiungere una sequenza già presente; ad es. se $b_{1}b_{2}b_{3}...; pescata:3$ Appartiene alla classe vi si pone anche $b_{2}b_{3}b_{4}...; pescata:3$. Si hanno così $k^{a-1} \cdot a$ classi in cui in un solo elemento per classe viene pescata la pallina del colore corretto; dunque, vi sono $k^{a-1} \cdot a$ scenari possibili equiprobabili. Ora, i modi di ottenere stringhe interamente del colore richiesto sono $a$, perciò, per la definizione classica di probabilità, dato l'evento $A$:"nel sacchetto tutte le palline sono di uno stesso colore", $p(A)=\frac{a}{k^{a-1}\cdot a}\Rightarrow p(A)=\frac{1}{k^{a-1}}$

P.S.: la forma va bene?

EDIT: avevo invertito le k con le a e ho fatto alcune correzioni
Ultima modifica di Enigmatico il 19 ago 2015, 00:42, modificato 3 volte in totale.

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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da fph » 18 ago 2015, 22:31

Enigmatico ha scritto:la forma va bene?
La dimostrazione è giusta, ma la forma è migliorabile. :) A dire la verità, se uno non ha letto la mia dimostrazione prima, si capisce pochino. :) Come sono fatti gli eventi elementari? Perché i colori inizialmente sono $b_1,b_2,\dots,b_k$ e poi nel tuo esempio diventano $1,2,\dots,k$? Cosa vuol dire $1,2,\dots,k\in N$ (lo sappiamo che $1,2,\dots,k$ sono numeri naturali). "dunque vi sono $a^{k-1}a$ scenari possibili equiprobabili" non è la conclusione del tuo ragionamento, è il punto di partenza: quel ragionamento serve per dimostrare che in $a^{k-1}$ degli eventi elementari si pesca una pallina del colore giusto. Le classi non sono $a^{k-1}a$, sono $a^{k-1}$. Inoltre, ma questo non potevi saperlo, "campo di probabilità" non si usa (perché non è un campo...), di solito si dice "spazio di probabilità".
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Re: Sacchetto di biglie

Messaggio da Enigmatico » 19 ago 2015, 00:47

Grazie mille per i tuoi consigli fph!!! Ho qualche altra domanda: come posso introdurre il concetto di eventi elementari e come potrebbe arricchire la dimostrazione? Comunque, le classi sono $k^{a-1}a$ perché sto raggruppando elementi a k a k, perciò per trovarne il numero devo solo dividere il totale per k... Infine, come potrei eliminare quel dunque senza evitare di esplicitare che gli scenari sono equiprobabili ed esplicitare cosa ho trovato? Se hai qualche altro consiglio non esitare a darmelo, grazie infinite per l'aiuto!

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