Scelte di oggetti

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Scelte di oggetti

Messaggio da nic.h.97 » 15 apr 2015, 19:10

E' data una fila di 20 elementi .
Determinare quanti modi ho di togliere 4 elementi dai 20 di partenza , in modo che tra ogni 2 elementi tolti , rimangano al più 5 elementi. ( dunque non posso togliere il 1^ e il 8^ , perché in mezzo rimarrebbero 6 elementi)

In generale , data una fila di $ n $ elementi,quanti modi ho di togliere $ k $ elementi , in modo che tra ogni 2 elementi tolti non ci siano più di $ m $ elementi?

nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: Scelte di oggetti

Messaggio da nic.h.97 » 15 apr 2015, 22:35

Riformulazione.
Riscrivo perché il problema scritto sopra contiene un caso che non volevo contare..

E' data una sequenza di 24 elementi disposti in fila uno dopo l'altro.
Tolgo 5 di questi elementi affinché i blocchi di elementi senza interruzione , contengano al più 5 elementi.

Determinare quanti modi ho di eseguire questa operazione.


In generale , data una sequenza di $ n $ elementi disposti in fila uno dopo l'altro , quanti sono i modi di togliere $ k $ elementi affinché rimangano solo blocchi (ovvero i blocchi di elementi contigui senza interruzione ) che contengano al più $ m $ elementi?

In figura è rappresentato il caso $ n= 7 $ , $ k=2 $ e $ m=3 $
Allegati
combinatoria.png
combinatoria.png (30.52 KiB) Visto 3436 volte

nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: Scelte di oggetti

Messaggio da nic.h.97 » 20 apr 2015, 17:07

nic.h.97 ha scritto:E' data una sequenza di 24 elementi disposti in fila uno dopo l'altro.
Tolgo 5 di questi elementi affinché i blocchi di elementi senza interruzione , contengano al più 5 elementi.

Determinare quanti modi ho di eseguire questa operazione.
Una interpretazione del problema è la seguente :
Ho un dado a 5 facce , numerate da 0 a 4 .
Lancio questo dado 6 volte e sommo i punteggi.
Determinare quanti diversi modi ho di raggiungere una somma di 24-5=19

In pratica i blocchi di elementi contigui corrispondono al punteggio che ottengo con un lancio di dado.

Qualcuno che mi fornisca un'illuminazione per risolvere il caso generale?

Avatar utente
luca95
Messaggi: 65
Iscritto il: 09 set 2014, 19:19
Località: Firenze, Udine

Re: Scelte di oggetti

Messaggio da luca95 » 20 apr 2015, 20:43

nic.h.97 ha scritto:
nic.h.97 ha scritto:
Una interpretazione del problema è la seguente :
Ho un dado a 5 facce , numerate da 0 a 4 .
Lancio questo dado 6 volte e sommo i punteggi.
Determinare quanti diversi modi ho di raggiungere una somma di 24-5=19
Detta così la risposta dovrebbe essere il coefficiente di $ x^{19} $ nello sviluppo di $ (1+x+x^2+x^3+x^4)^6 $
Ultima modifica di luca95 il 20 apr 2015, 21:12, modificato 1 volta in totale.

nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: Scelte di oggetti

Messaggio da nic.h.97 » 20 apr 2015, 21:05

luca95 ha scritto:
nic.h.97 ha scritto:
nic.h.97 ha scritto:
Una interpretazione del problema è la seguente :
Ho un dado a 5 facce , numerate da 0 a 4 .
Lancio questo dado 6 volte e sommo i punteggi.
Determinare quanti diversi modi ho di raggiungere una somma di 24-5=19
Detta così mi pare che la risposta dovrebbe essere il coefficiente di $ x^{19} $ nello sviluppo di $ (1+x+x^2+x^3+x^4)^6 $
Ora la domanda è : come lo trovi il coefficiente di $ x^{19} $ ?
Torniamo allo stesso problema

Avatar utente
luca95
Messaggi: 65
Iscritto il: 09 set 2014, 19:19
Località: Firenze, Udine

Re: Scelte di oggetti

Messaggio da luca95 » 20 apr 2015, 21:09

Si tratta comunque di fare un po' di calcoli ma così lo trovi http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem.
Se c'è un modo più furbo per farlo sarei lieto di saperlo anche io...

Rispondi