Sommatoria di quadrati di binomiali

[karlosson_sul_tetto]

Dovrebbe essere un problema diffuso, ma chissene.
Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ vale:
$\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}^2= \binom{2n}{n}$

[mr96]

Per la formula di Vandermonde vale $ \binom{a+b}{c}=\sum_{i=0}^{c}\binom{a}{i} \binom{b}{c-i} $. Ricordando che $ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} $ pongo $ a=b=c=n $ e ho finito

[karlosson_sul_tetto]

BAAAAAAM!
Fighissima la formula di Vandermonde, non la conoscevo

[fph]

Ok, allora visto che l'avete tirata fuori, qualcuno dimostri la formula di Vandermonde...

(che per quanto ne so si dimostra esattamente nello stesso modo che la soluzione "umana" del primo problema con i quadrati).

[mr96]

Da quel che so, ci sono almeno altre due dimostrazioni fattibili, ma questa forse è la più intuitiva

Testo nascosto:

Ho un insieme di $ n $ palline, di cui $ a $ sono rosse e $ b $ sono blu, tali ovviamente che $ a+b=n $. In quanti modi posso creare un sottoinsieme di $ c $ elementi? $ \binom{a+b}{c} $ o, in alternativa, sommando tutti i possibili sottoinsiemi con $ k \leq c $ palline rosse e $ c-k $ palline blu, che sono $ \sum_{k=0}^{c}\binom{a}{k}\binom{b}{c-k} $, e da qua l'uguaglianza.

[Drago96]

Oppure $\displaystyle\sum_{c=0}^{a+b}\binom {a+b} c x^c=(1+x)^{a+b}=(1+x)^a (1+x)^b $ e
$\displaystyle(1+x)^a (1+x)^b=\left ( \sum_{i=0}^a\binom a i x^i \right)\left ( \sum_{j=0}^b\binom b j x^j \right)=\sum_{k=0}^{a+b}x^k\left (\sum_{i+j=k}\binom a i\binom b j\right)$