Finale Cesenatico 2013, un buon non-compleanno

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Talete
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Re: Finale Cesenatico 2013, un buon non-compleanno

Messaggio da Talete » 17 gen 2015, 14:05

Boh, ci provo.
Sia $n$ il numero di feste ogni giorno. Ogni giorno ci sono dunque $\frac{2n}{11}$ persone che compiono gli anni, poiché ogni persona è invitata a $33$ feste e ci sono in totale $6\cdot n$ invitati. Osserviamo intanto che siccome tale numero è intero, $n$ è multiplo di $11$. Ogni giorno il numero di persone che non compiono gli anni è $140\cdot n$, poiché ogni persona è festeggiata in una ed una sola festa. Siano ora $d$ il numero di giorni ogni anno e $p$ il numero di abitanti del Campo delle Mateviglie. Il numero di abitanti è dato dalla somma delle persone che compiono gli anni e delle persone che non li compiono, quindi
\[p=\frac{2n}{11}+140n=\frac{1542}{11}\cdot n.\] Il numero di giorni ogni anno è dato quindi dal totale di persone diviso il numero di persone che compiono gli anni ogni giorno, quindi
\[d=\frac p{\frac{2n}{11}}=\frac{11p}{2n}=\frac{1542n}{2n}=771,\]
che è quindi il numero dei giorni ogni anno.
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dido174
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Re: Finale Cesenatico 2013, un buon non-compleanno

Messaggio da dido174 » 17 gen 2015, 16:34

Posto anche la mia soluzione.
Usando la stessa notazione di Talete, supponiamo che ci siano $d$ giorni e $p$ persone; supponiamo anche che l'$i$-esimo giorno ci sia un numero $c_i$ di persone che compiono gli anni e quindi $p-c_i$ che non li compiono. Per adesso io non so che i vari $c_i$ sono tutti uguali, ma posso dimostrarlo. Infatti ogni giorno il numero di feste, contato con i compleanni, è $c_i \frac{11}{2}$ e con i non compleanni è $\frac{p-c_i}{140}$. Queste due quantità sono uguali, uguagliandole e isolando la $p$ viene $p= 771 \cdot c_i$. Dato che $p$ è costante, l'unica possibilità è che anche i vari $c_i$ siano costanti. Allora il numero totale di persone ($p$) è uguale al numero di persone nate ogni giorno ($c_i$) per il numero $d$ di giorni (che è quindi $771$).

Oppure una soluzione un po' più lunga.
Chiamando $n_i$ il numero $p-c_i$, ossia quanti non festeggiano il compleanno l'$i$-esimo giorno, riparto dal punto in cui ottengo il numero di feste nell'$i$-esimo giorno in due maniere, ossia $c_i \frac{11}{2} = \frac{n_i}{140}$ da cui $n_i = 770 c_i$. Ora doubleconto anche il numero di persone $p$, esso è $$c_1+c_2+...+c_d = \frac{n_1 +n_2+...+n_d}{d-1}$$ in quanto al LHS sommo il numero di compleanni ogni giorno e al RHS il numero di non compleanni e ogni persona fa esattamente $d-1$ non compleanni all'anno. Sostituendo la relazione tra $n_i$ e$c_i$ ottengo $$c_1+c_2+...+c_d = 770 \frac{c_1+c_2+...+c_d}{d-1}$$ da cui $d = 771$.

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