Problema reale

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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DamianoY
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Problema reale

Messaggio da DamianoY » 08 gen 2015, 21:01

Premetto che non so se la sezione è giusta, ma mi sembrava la più opportuna, in fondo mi è capitato di leggere dei problemi simili alle olimpiadi.

La mia professoressa di latino usa un sistema per tirare a sorte l'alunno da interrogare un po' particolare (per lo meno io so che lo usa solo lei nella mia scuola).
Consiste nel lanciare due dadi, il primo dado stabilisce la cinquina da cui prendere l' alunno, l' altro stabilisce l' alunno all' interno della cinquina (precisazione: il registro oltre ad essere in ordine alfabetico è diviso in gruppi di 5). Ovviamente dobbiamo aggiungere delle regole, visto che in classe siamo in 22:
-Se esce 6 dal primo dado, il dado viene tirato nuovamente.
-Se esce 6 dal secondo dado, il dado viene tirato nuovamente (solo il secondo dado viene tirato di nuovo)
-se esce 5 dal primo dado e o 3 o 4 o 5 dal secondo vengo tirati nuovamente entrambi i dadi.

Dimostrate che tutti gli alunni sono equiprobabili (se non ci sono assenti).

Ps. Il problema nasce proprio da un errore della professoressa che credeva di dover ritirare entrambi i dadi anche se usciva 5 al primo lancio e 6 al secondo... E per convincere lei e i miei compagni (che erano divisi in diversi schieramenti) ho dovuto trovare una dimostrazione (a dire il vero ne ho trovate due). Per questo lo voglio riproporre a voi, chissà se ne escono altre dimostrazioni diverse :D

Mi scuso se il problema fosse già noto (per me non lo era) e sarei curioso di sapere se i vostri prof usano questo sistema! :D

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dido174
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Re: Problema reale

Messaggio da dido174 » 08 gen 2015, 21:45

Dato che se esce 6 si ritira (solo quel tiro, non daccapo) è come se avessimo un dado equo a 5 facce. Facciamo che il dado va quindi da 1 a 5.
Secondo me basta dire che ad ogni alunno è associata una e una sola coppia $(a,b)$ dove $a$ indica la cinquina e $b$ la sua posizione all'interno della cinquina. Le coppie possibili in totale sono 25, quelle non valide sono 3 , cioè $(5,3),(5,4),(5,5)$ corrispondenti agli alunni 23,24,25 che non avete in classe. Dato che ora con questo dado da 5 è impossibile tirare di nuovo dopo il primo lancio (la prima delle tre condizioni del testo) è come se venissero lanciati due dadi da 5, di colore diverso per differenziare i risultati, contemporaneamente; ad ognuno dei 25 risultati è associato uno e un solo alunno, tranne a 3 risultati per cui si ritirano daccapo i due dadi. Quindi chi è in fondo non ha nulla da temere.

In classe c'è un professore che usa un sistema del genere (ma non penso abbia un regolamento così preciso) e invece un altro, volendo usare il metodo di sommare le cifre del numero di una pagina di un libro, resosi conto che uscivano numeri medio-bassi, un giorno ha deciso di sommare quelle sia della pagina a sinistra sia a destra. Dopo essere uscito (ero il 25) a nulla sono valse le mie spiegazioni che possono uscire solo numeri dispari :(

DamianoY
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Re: Problema reale

Messaggio da DamianoY » 08 gen 2015, 22:09

Direi che è perfetta! (Pensà un po' che in classe mia per convincere tutti che era come avere un dado a 5 facce ho dovuto tirare in ballo le progressioni geometriche... E forse ho fatto peggio che meglio, ma lasciamo stare... Comunque alla fine tutti si sono convinti, e anche la professoressa stessa per fortuna; non so se abbia veramente capito il procedimento che ci sta dietro, ma per fortuna è abbastanza democratica!)
dido174 ha scritto:un altro, volendo usare il metodo di sommare le cifre del numero di una pagina di un libro, resosi conto che uscivano numeri medio-bassi, un giorno ha deciso di sommare quelle sia della pagina a sinistra sia a destra. Dopo essere uscito (ero il 25) a nulla sono valse le mie spiegazioni che possono uscire solo numeri dispari :(
Questo è veramente da risate :lol: :lol: :lol: :lol:
Lasciando perdere quanto è poco equo il sistema di per se... Una cosa del genere è veramente assurda ahahahah

DamianoY
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Re: Problema reale

Messaggio da DamianoY » 08 gen 2015, 22:26

Tanto per completezza metto anche la mia che è diversa:

Chiamo $ x $ la probabilità che esca una determinata cinquina quindi posso scrivere $ x=\dfrac {1}{6}+\dfrac {1}{6}x $ ovvero $ x=\dfrac {1}{5} $ (la cosa è analoga per stabilire le probabilità di ogni alunno della cinquina dopo che è già stata stabilità la cinquina, il risultato è sempre $ \dfrac {1}{5} $ ma io lo chiamerò $ y $ solo per essere un po' più chiari)
Adesso chiamo $ z $ la probabilità che esca un alunno qualsiasi: allora posso scrivere (visto che le regole sono le stesse per tutti gli alunni) $ z=xy+x\left( 3y\right) z $ ovvero $ z=\dfrac {1}{22} $ per ogni alunno! che è proprio quello che volevo ottenere!

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