Corso Prime: Pb. 15.1 - 16.1 e 17.1

[a.matichecchia]

Salve, sono uno studente alle prime arme in combinatoria. L'anno passato ho avuto l'interessante esperienza di approcciarmi alle "Olimpiadi della Matematica" devo dire con risultati non molto favorevoli, anche dovuti al mio esiguo studio della combinatoria. Quest'anno ho deciso di applicarmi di più e ho iniziato a seguire il "Corso Base Olimpiadi della Matematica", ho terminato la prima parte dedicata alla "Combinatoria livello 0" apprendendo tutto quello detto nelle lezioni. Non ho avuto problemi a svolgere i primi 14 esercizi proposti, ma dal 15 in poi non ci ho capito più nulla. E nello specifico vorrei iniziare col comprendere i problemi dal 15 al 17. Chiedo aiuto nel risolvere questi esercizi con una dovuta spiegazione, vorrei capire fino in fondo quello che faccio e non lasciare nulla al caso. Oppure vi sarei anche grato se mi lasciasse anche solo degli indizi in modo che io posso continuare da solo il lavoro, grazie in anticipo. Riporto sotto le tracce degli esercizi.

Prob. 15: Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA tali che, cancellandone tutte le consonanti, le lettere restanti si presentano in ordine alfabetico?

Prob. 16: Quanti sono gli anagrammi della parola AMMAZZATO in cui non ci sono mai due vocali vicine?

Prob. 17: La famiglia Rossi è composta da mamma, papà e 5 figli Claudia, Luca e i 3 gemellini Andrea, Mirco e Davide. Quando vanno al cinema si siedono tutti in fila occupando 7 posti consecutivi, ma avendo cura che 2 gemelli non siano mai seduti vicino (altrimenti farebbero caos). In quanti modi diversi possono sedersi?

[GimmyTomas]

Metto degli hint.

15) Nell'anagramma le vocali devono essere in ordine alfabetico, quindi possiamo fissare la sequenza AAAEI e immaginare di distribuire le consonanti nel sei "posti" disponibili. Se le consonanti fossero tutte indistinguibili, in quanti modi questo si può fare? E per ognuno di questi anagrammi (con le consonanti tutte uguali), quanti ne esistono con le consonanti diverse? Tanti quanti sono gli anagrammi di...

16) Indicando con V una vocale qualsiasi e con C una consonante qualsiasi, possiamo immaginare di costruire gli anagrammi fissando la sequenza VCVCVCV e distribuendo le restanti consonanti negli otto "posti" disponibili. Poi, come prima, bisogna considerare che non tutte le vocali sono uguali (e nemmeno tutte le consonanti) e dunque moltiplicare per il numero di anagrammi di... e di...

17) Il problema è molto simile al precedente: indicando con G un gemello e con A un altro componente della famiglia, deve esserci la sequenza GAGAG...

[a.matichecchia]

Metto degli hint.

15) Nell'anagramma le vocali devono essere in ordine alfabetico, quindi possiamo fissare la sequenza AAAEI e immaginare di distribuire le consonanti nel sei "posti" disponibili. Se le consonanti fossero tutte indistinguibili, in quanti modi questo si può fare? E per ognuno di questi anagrammi (con le consonanti tutte uguali), quanti ne esistono con le consonanti diverse? Tanti quanti sono gli anagrammi di...

16) Indicando con V una vocale qualsiasi e con C una consonante qualsiasi, possiamo immaginare di costruire gli anagrammi fissando la sequenza VCVCVCV e distribuendo le restanti consonanti negli otto "posti" disponibili. Poi, come prima, bisogna considerare che non tutte le vocali sono uguali (e nemmeno tutte le consonanti) e dunque moltiplicare per il numero di anagrammi di... e di...

17) Il problema è molto simile al precedente: indicando con G un gemello e con A un altro componente della famiglia, deve esserci la sequenza GAGAG...

Grazie GimmyTomas il tuo aiuto è stato fondamentale, ho notato che non era niente di così difficile, era la distribuzione nei "posti" liberi che non mi era chiara. Penso di aver fatto correttamente solo che i risultati riportati degli esercizi 16 e 17 sono diversi dai miei, ora te li riporto:

15) Mio risultato: $\frac{9!}{7!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{3!}\cdot\frac{5!}{2!\cdot2!}$ - Risultato previsto: $\frac{6!}{4!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{3!}\cdot\frac{5!}{2!\cdot2!}$

16) Mio risultato: $\frac{7!}{5!\cdot2!}\cdot3!\cdot4!$ - Risultato previsto: $\frac{5!}{3!\cdot2!}\cdot3!\cdot4!$

Forse c'è un errore nel mio procedimento o forse c'è un errore nelle soluzioni. Aspetto un tuo parere e grazie per la disponibilità.

[GimmyTomas]

Hai ragione, errore mio: non facendo davvero il problema, non mi sono accorto di una cosa. Gli otto posti (mi riferisco al 16, il 17 dovrebbe essere uguale) sono in realtà 5. Infatti, immaginiamo di inserire una nuova consonante "c" nella sequenza VCVCVCV in questi due modi: VCcVCVCV e VcCVCVCV. Questi sono equivalenti per ovvi motivi. Sorry

[D.S.R.]

Scusate per il necroposting, ma non mi raccapezzo col numero 15.1.
Non mi è chiaro inoltre il suggerimento sopra...perché distribuirle in sei posti?
Guardando, la soluzione moltiplica le disposizioni di 5 lettere in 6 posti per le disposizioni delle consonanti. Cioè:
\[
\binom{10}{5}\frac{5!}{2!2!}
\]
Anche nel suggerimento si menzionano "6 posti". Ma non ne vedo! Le consonanti e le vocali sono 5, il numero totale di lettere è 10. Da dove spunta il 6?
Quale modo di ragionare dovrei seguire? Ho tentato in diversi modi, ma tutti errati. Ad esempio moltiplicando le disposizioni di MTMTC diviso 2!2! (le ripetizioni) per le disposizioni di AAAEI in 10 caselle, diviso 3! .
Non saprei...
Quale può essere il buon "modus operandi" per questi problemi in generale?

[matpro98]

Prova a tirare su un foglio 5 linee parallele, le regioni formate sono 6. Come puoi usare questo fatto nel problema?

[D.S.R.]

Mi pare di avere capito. Posto in spoiler la soluzione del 15.1 con ragionamento:

Testo nascosto:

Dunque si prendano le 6 posizioni che le consonanti potrebbero prendere "attorno" alle vocali, e si trovi il modo di mettere 5 consonanti in 6 spazi. Si potrebbe rappresentare la situazione così:
\[
\square\: \text{A}\:\square\: \text{A}\: \square\: \text{A}\: \square\: \text{E}\: \square\: \text{I}\: \square
\]
Dunque:
\[
\binom{10}{5}
\]
Queste sono le possibili "posizioni" che 5 consonanti possono prendere. Ma non si distingue fra le consonanti.
Per farlo le si moltiplichi per le disposizioni che queste consonanti possono prendere (gli anagrammi di MTMTC):
\[
\frac{5!}{2!2!}
\]
Ottenendo:
\[
\binom{10}{5}\frac{5!}{2!2!}=7560
\]

Corretto e chiaro?
Grazie mille per l'aiuto.

[matpro98]

Giusto figurati