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In un gran premio ogni auto deve percorrere 120 giri di pista. Si sa che la capacità del serbetaio è tale da permettere all' auto di completare la gara senza alcun pit stop, che per ogni pit stop si impiegano 30 secondi, che il tempo di percorrenza aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni litro in più di benzina presente nel serbatoio all' inizio del giro e che per completare un giro sono necessari 3 kg di carburante. Supposto il consumo dell' auto costante si determini la strategia per permettere di terminare la gara nel minor tempo possibile.

Avevo iniziato a risolverlo ma alla fine mi sono bloccato...
Avevo seguito questo procedimento:
Detto $n$ il numero dei giri da fare prima di fermarsi ai box l' auto avrà all inizio del primo giro un numero di litri nel serbatoio pari a $3n$.
Detto $t=0,03s$ avremmo, per completare gli $n$ giri, un tempo aggiuntivo pari a $3cn+3c(n-1)+3c(n-2)...3(n-(n-1))=3c(n+n-1+n-2...+n-(n-1))=3cn(\frac{n+1}{2})$
Inoltre per ogni pit stop impiegheremo un tempo aggiuntivo $p=30s$. Per il totale dei pit stop sarà quindi questo tempo pari a $p(\frac{120}{n}-1)$
Avrei quindi costruito una sorta di funzione $f(n)=3cn(\frac{n+1}{2})+p(\frac{120}{n}-1)$
Quindi ho cercato di trovare gli 0 della derivata ma con scarsi risultati...
Penso comunque di aver sbagliato qualcosa nel procedimento e che comunque questo non sia proprio il metodo migliore per la risoluzione di questo quesito.
Potreste darmi qualche dritta?

Io ho ragionato piú o meno così: supponi che l'auto si fermi al pit stop l'\(i\)-esima volta dopo \(a_i\) giri. Diciamo si ferma quindi dopo \(a_1, ..., a_k\) giri; la soma fa \(n_g\) (nel nostro caso 120). Riesci q dire il tempo totale in funzione della sequenza e di \(t_b, b_g,t_p, n_g\), rispettivamente il tempo in piú al giro per kg di benzina, le benzina necess.per un giro, il tempo del pit stop, il numero di giri totali?
Riesco afesso a minorare questa roba con la disuguaglianza di convessità sbarazzandomi della dipendenza dagli \(a_i\)? Per carità, il mondo non è perfetto, tantomeno quello discreto.

Gottinger95 ha scritto:Io ho ragionato piú o meno così: supponi che l'auto si fermi al pit stop l'\(i\)-esima volta dopo \(a_i\) giri. Diciamo si ferma quindi dopo \(a_1, ..., a_k\) giri; la soma fa \(n_g\) (nel nostro caso 120). Riesci q dire il tempo totale in funzione della sequenza e di \(t_b, b_g,t_p, n_g\), rispettivamente il tempo in piú al giro per kg di benzina, le benzina necess.per un giro, il tempo del pit stop, il numero di giri totali?
Riesco afesso a minorare questa roba con la disuguaglianza di convessità sbarazzandomi della dipendenza dagli \(a_i\)? Per carità, il mondo non è perfetto, tantomeno quello discreto.

Sinceramente non ho mai usato la disugualianza di convessità anche se avevo letto qualcosa al riguardo. Per usarla devo esprimere \(t_b, b_g,t_p, n_g\) tutto in \(a_i\) ?

No, quelli che gottinger ha chiamato con le lettere sono i dati che hai già xD ovvero $t_b=0.03, b_g=3,t_p=30,n_g=120 $
Ora, tu ragiona un $ a_i $ per volta: devi fare un tot di giri e devi vedere quanto ci impieghi; ovvero, costruisci una funzione $ f (x) $ che ti calcoli quanto tempo ci metti a fare $ x $ giri se parti con la benzina necessaria a fare questi $ x $ giri, che forse è quella che hai scritto, o cose simili... poi speri che sia convessa (se il collega sopra dice di usare convessità, mi fido) e quindi puoi dire $f (a_1)+\dots+f (a_n)\ge nf (\frac {a_1+\dots+a_n}{n}) $. A questo punto tu sai che la somma degli $ a_i $ è 120, quindi conosci quella funzione e la minimizzi ancora in funzione di $ n$...
I conti non li ho fatti, quindi potrei non aver centrato quello che indendeva gottinger... la sua affermazione sul discreto mi spinge ad avvertirti: la disuguaglianza di convessità ammette casi di uguaglianza in R, ma non è detto che li abbia in N; quindi devi tipo "sporcarti" un po' le mani per cercare il minimo vero e non quello che ti dà Jensen... (del tipo, magari viene che il minimo è con gli $a_i $ tutti uguali, ma $ n=7$, vedi che c'è qualcosa che non va...)
Ah, poi stiamo anche assumendo che conviene fare: arrivo a 0 carburante e poi pit stop, e così via... se no potrebbbe anche essere che si ferma con il serbatoio ancora mezzo pieno...

Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

Troleito br00tal ha scritto:Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

Dio bono, vai giù pesante

Troleito br00tal ha scritto:Scusate se mi intrometto, ma c'è più sporcizia in questo posto che dentro le ascelle di Chuck Schuldiner.

Regards

Troleito

<3
potevi dire c'è più sporcizia qui che negli assoli di kirk hammett

@Troileto: vedi, quando sei costretto a studiare fisica, ti convinci che tuffarti nelle cose più sporche sia entusiasmante.
@Draco: confermo, e in realtà i conti non sono nemmeno così brutti!

BorisM ha scritto: il tempo di percorrenza aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni litro in più di benzina presente nel serbatoio all' inizio del giro e che per completare un giro sono necessari 3 kg di carburante.

Se vogliamo essere ancora piu sporchi bisogna inserire nei calcoli la densità della benzina per convertire kg in litri

Dai a sto point rispondo
Oss. 1: per fare \(m\) giri, dobbiamo caricarci \(m b_g\) kg di benzina. Per fare l'\(i\)-esimo giro, avremo \( (m+1-i)b_g\) kg di benzina a bordo, per un tempo di \( (m+1-i) b_g t_b\) in più. Sommando per tutti gli \(i\) da \(1\) a \(m\) abbiamo
\[ T(m) = \sum_{i=1}^m (m+1-i) b_g t_b = b_g t_b \sum_{i=1}^m i = b_g t_b \binom{m+1}{2}\]
Oss. 2: Siano \( (a_1, \ldots, a_k)\) dei numeri \(\in \mathbb{N}\) tali che \(a_1 + \ldots + a_k = n_g\). Per l'osservazione 1, se facciamo i pit-stop dopo \(a_1\) giri, poi dopo \(a_2\) giri, e così via, il tempo \(T\) totale è
\[ T = \sum_{i=1}^k T(a_i) + (k-1)t_p = b_g t_b\sum_{i=1}^k \binom{a_i+1}{2} + (k-1)t_p \ \ \ (A) \]

Adesso vogliamo trovare il minimo \(T\), e quando ci sono dei binomiali siamo contenti. Infatti \( f(x) = \binom{x}{k}\) è convessa (è tipo un polinomio con coefficiente di testa positivo), e dunque vale, per convessità su \( f(x) = \frac{x(x+1)}{2}\) (vedi il post di drago se non è chiaro cosa sto usando):
\[ T = b_g t_b\sum_{i=1}^k \binom{a_i+1}{2} + (k-1)t_p \ge b_g t_b k \frac{n_g}{k} \left ( \frac{n_g}{k} +1 \right ) + (k-1)t_p = b_g t_b n_g \left ( \frac{n_g}{k} +1 \right ) + (k-1)t_p = \frac{b_g t_bn_g^2}{k} + t_p k + \gamma \ \ \ (B) \]
dove \(\gamma\) è il termine noto. Per capire qual'è il massimo, imponiamo che la derivata sia uguale a 0:
\[ - \frac{b_gt_bn_g^2}{k^2} + t_p = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ k = n_g \sqrt{ \frac{b_g t_b}{t_p} } \]
che inserendo i dati risulta circa \(6.6\). Visto che però a noi interessano solo \(k\) interi, dobbiamo confrontare i casi \(k=6,7\).

Conclusione mala.
1.Con \(k=6\), si può realizzare il caso di uguaglianza, in cui \(a_i= n_g/k = 120/6 = 20\) per ogni \(i\). Perciò per \(k=6\) abbiamo esattamente la \((B)\) calcolata in \(k=6\), ossia \(396\).
2. Con \(k=7\), riusciamo quasi a raggiungere l'uguaglianza con 6 volte \(17\) e un \(18\). Quindi la \( (A)\) diventa:
\[ T = 6 T(17)+ T(18) + 6\cdot 30 = 3 \cdot 0.03 \cdot ( 6 \cdot \binom{18}{2} + \binom{19}{2} ) + 180 = \boxed{278.01} \]
che vince malamente su \(396\). E niente, abbiamo finito.