Cartiamo!

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simone256
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Cartiamo!

Messaggio da simone256 » 22 lug 2014, 14:56

Ebbene è estate e il tempo fa schifo e non avete idea di cosa fare... Allora vi inventate due pallosissimi giochi il cui studio matematico però può essere più divertente :mrgreen:

a) Con il classico mazzo da 40 carte (o se preferite 52), girate una alla volta le carte fino a quando compare il primo asso; in media quante carte avrete girato prima di ottenerlo??

b) Sempre con il classico mazzo prendete a caso metá delle carte e le disponete in cima al mazzo nell'ordine in cui si trovavano rispettivamente anche prima (per esempio con 6 carte numerate da 1 a 6 in ordine crescente verso il basso pigliate per esempio la 1 la 3 e la 5, le mettete in cima e l'ordine passa da 1 2 3 4 5 6 a 1 3 5 2 4 6).
Quante carte in media non hanno cambiato la loro posizione assoluta (in questo caso la 1 e la 6 hanno conservato rispettivamente la prima e l'ultima posizione)???
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Gottinger95
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Re: Cartiamo!

Messaggio da Gottinger95 » 30 lug 2014, 18:32

Mmm, rispondo al punto a).
Coloriamo gli assi di rosso e tutte le altre carte di blu. I valori delle carte ce li possiamo pure scordare.
Le configurazioni in cui una carta rossa è alla \(k\)-esima posizione sono \( \displaystyle \binom{40-k}{3}\), ossia i modi di disporre le rimanenti \(40-k\) carte, di cui 3 rosse.
Il valore atteso di \(k\) si ottiene dunque con una sorta di media dei possibili valori pesati secondo la probabilità che escano, ossia:
\[ \binom{ 40}{4} ^{-1} \sum_{k=1}^{37} \binom{40-k}{3} k = \binom{ 40}{4} ^{-1} \sum_{k=3}^{40} \binom{k}{3} (40-k) = \binom{ 40}{4} ^{-1} \left ( 41 \sum_{k=3}^{40} \binom{k}{3} - 4 \sum_{k=4}^{41} \binom{k}{4} \right )= \binom{ 40}{4} ^{-1} \left ( 41 \binom{41}{4} - 4 \binom{42}{5} \right ) = \]
\[ = \binom{ 40}{4} ^{-1} \binom{41}{4} \left ( 41- 4 \frac{42}{5} \right ) = \frac{41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{ 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 } \frac{37}{5} = \frac{41}{5} \approx \boxed{8} \]
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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simone256
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Re: Cartiamo!

Messaggio da simone256 » 06 ago 2014, 18:13

Mi piace questa soluzione anche se purtroppo non saprei dirti se è corretta :oops:
Anche se comunque credo che non faccia neanche una piega :wink:
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Loara
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Re: Cartiamo!

Messaggio da Loara » 26 ago 2014, 18:38

Io provo col punto b)

Scelgo quindi $20$ carte e siano $a_1, a_2, \cdots , a_{20}$ le loro posizioni assolute (con $1\leq a_1<a_2<\cdots <a_{20}\leq 40$ e $a_i\geq i$). Per ogni carta di posizione $a_i$ spostata sulla cima del mazzo sposto verso il basso tutte le carte dalle posizioni che vanno dalla $i$ alla $a_i$, quindi rimangono invariate tutte le carte nelle posizioni $j>a_{20}$, che non vengono coinvolte nello scambio, e tutte le carte nelle posizioni $a_1, a_2, \cdots , a_i$ se $a_i=i$ e $a_{i+1}>i+1$, infatti in tal caso, per ogni $j\leq i$, allora $a_j=j$.
Per ogni $(a_1, a_2, \cdots , a_{20})$ definiamo due numeri $M$ ed $m$ tali che:
  • $M=a_{20}$;
  • $m$ è il più grande intero tale che $a_m=m$ e, se tale numero non esiste, allora $m=0$.
Se $m=20$, allora anche $M=20$ e allora tutte le carte conservano la loro posizione. Se invece $m<20$, allora $M>20$ e possono essere scelte altre ${\displaystyle \binom{M-m-1}{19-m}}$ carte per lo spostamento, ed esattamente $m+40-M$ carte conserveranno la loro posizione. Il valore medio corrisponde alla serie:
$$
\binom{40}{20}^{-1}\left [\sum^{40}_{M=21}\left (\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{19-m}(m-M+40)\right )+40\right ]
$$
e risolviamo le sommatorie una alla volta:
$$
\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{19-m}(m-M+40)=\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}(m-M+40)=40\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}-\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}(M-m)=$$
$$
=40\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m-1}{M-20}-(M-19)\sum^{19}_{m=0}\binom{M-m}{M-19}=40\sum^{M-1}_{m=M-20}\binom{m}{M-20}-(M-19)\sum^{M}_{m=M-19}\binom{m}{M-19}=
$$
$$
=40\binom{M}{M-19}-(M-19)\binom{M+1}{M-18}=40\binom{M}{19}-(M-19)\binom{M+1}{19}
$$
e con la seconda sommatoria:
$$
40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-\sum^{40}_{M=21}(M-19)\binom{M+1}{19}=40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-\sum^{40}_{M=21}(M+2-21)\binom{M+1}{19}=
$$
$$
=40\sum^{40}_{M=21}\binom{M}{19}-20\sum^{40}_{M=21}\binom{M+2}{20}+21\sum^{40}_{M=21}\binom{M+1}{19}=40\left [\binom{41}{20}-\binom{21}{20}\right ]-20\left [\binom{43}{21}-\binom{23}{21}\right ]+21 \left [\binom{42}{20}-\binom{22}{20}\right ]
$$
e risolvendo tali binomiali e continuando la formula otteniamo il valore medio. Dato la lunghezza del ragionamento temo di aver fatto qualche errore con i calcoli, ma credo che l'impostazione sia corretta.
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

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